Construir en un ángulo rectilíneo dado, un paralelogramo equivalente a una figura rectilínea dada.
Sea ΑΒCD la figura rectilínea dada y ∠Ε el ángulo rectilíneo dado .
Así pues, hay que construir en el ángulo dado ∠Ε, un paralelogramo equivalente a la figura rectilínea dada ΑΒCD.
Trácese DΒ , y constrúyase en el ángulo ∠HΚF, que es igual a ∠Ε, el paralelogramo ▱FH equivalente al triángulo △ΑΒD [Prop. I.42]; y aplíquese a la recta GH, el paralelogramo ▱GΜ equivalente al triángulo △DΒC en el ángulo ∠GHΜ, que es igual a ∠E [Prop. I.44]. Y puesto que el ángulo ∠Ε es igual a cada uno de los dos ángulos ∠HΚF, ∠GHΜ, también el ángulo ∠HΚF es, por tanto, igual al ángulo GHΜ [N.C. 1]. Añádase a ambos el ángulo ∠ΚHG; entonces ∠FΚH+∠ΚHG = ∠ΚHG+∠GHΜ. Pero los ángulos ∠FΚH, ∠ΚHG son suplementarios [Prop. I.29]; por tanto, los ángulos ∠ΚHG, ∠GHΜ son también suplementarios. Entonces en una recta cualquiera GH y en un punto de ella H, las dos rectas ΚH, HΜ, no colocadas en el mismo lado, hacen los ángulos adyacentes iguales a dos rectos; luego ΚH está en línea recta con HΜ [Prop. I.14]; y como la recta HG incide sobre las paralelas KM, FG, los ángulos alternos ∠ΜHG, ∠HGF son iguales entre sí [Prop. I.29]; añádase a ambos el ángulo ∠HGL; entonces ∠ΜHG+∠HGL=∠HGF+∠HGL [N.C. 2]. Pero los ángulos ∠ΜHG, ∠HGL son suplementarios [Prop. I.29]; luego los ángulos ∠HGF, ∠HGL son también suplementarios [N.C. 1]; por tanto, FG está en línea recta con GL [Prop. I.14]. Y dado que FK es igual y paralela a HG [Prop. I.34], pero también HG a ΜL, entonces también KF es igual y paralela a ΜL [N.C. 1; Prop. I.30]; y las rectas KM, FL las unen por sus extremos; luego también ΚΜ, FL son iguales y paralelas [Prop. I.33]; por tanto, ▱ΚFLΜ es un paralelogramo. Y dado △ABD = ▱FH, y △DΒC = ▱GΜ, entonces la figura rectilínea entera ΑΒCD es equivalente al paralelogramo entero ▱ΚFLΜ.
Q. E. D.