Los triángulos que están sobre bases iguales y entre las mismas paralelas son equivalentess entre sí.
Sean △ΑΒC, △DΕF los triángulos que están sobre las bases iguales ΒC, ΕF y entre las mismas paralelas ΒF, ΑD
. Digo que △ΑΒC = △DΕF.
Prolónguese, pues, ΑD en ambos sentidos hasta G, H ,
y por el punto Β trácese ΒG paralela a CΑ [Prop. I.31],
y por el punto F trácese FH paralela a DΕ .
Entonces cada una de las figuras ▱GΒCΑ, ▱DΕFH es un paralelogramo; y ▱GΒCΑ = ▱DΕFH: porque está sobre las bases iguales ΒC, ΕF
y entre las mismas paralelas ΒF, GH [Prop. I.36]; y △ΑΒC =(1/2)▱GΒCΑ: porque la diagonal ΑΒ lo divide en dos partes iguales
[Prop. I.34]; y △FΕD =(1/2) ▱DΕFH: porque la diagonal DF lo divide en dos partes iguales [Prop. I.34];
y las mitades de las mismas cosas son iguales entre sí. Por tanto, △ΑΒC = △DΕF.
Q. E. D.