Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas entre sí.
Así pues, al incidir sobre las dos rectas ΑΒ, CD , haga la recta ΕF los ángulos alternos ∠ΑΕF, ∠ΕFD iguales entre sí . Digo que ΑΒ es paralela a CD.
Pues si no, prolongadas ΑΒ, CD, se encontrarán o bien en el sentido de Β, D, o bien en el sentido de Α, C. Prolónguense y encuéntrense en el sentido de Β, D en G . Entonces el ángulo externo ∠ΑΕF del triángulo △GΕF es igual al ángulo interno y opuesto ∠ΕFG; lo cual es imposible [Prop. I.16]; por tanto, ΑΒ, CD prolongadas no se encuentran en el sentido de Β, D. De manera semejante demostraríamos que tampoco en el sentido de Α, C; pero las rectas que no se encuentran en ninguno de los dos sentidos son paralelas [Def. 23]; por tanto, ΑΒ es paralela a CΑ.
Q. E. D.