En todo triángulo, si se prolonga uno de los lados, el ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos y opuestos, y los tres ángulos internos del triángulo suman dos rectos.
Sea △ΑΒC el triángulo , y prolónguese uno de sus lados, ΒC, hasta D . Digo que el ángulo externo ∠ΑCD es igual a la suma de los dos internos y opuestos, ∠CΑΒ, ∠ΑΒC, y los tres ángulos internos del triángulo, ∠ΑΒC, ∠ΒCΑ, ∠CΑΒ suman dos rectos.
Pues trácese por el punto C la recta CΕ paralela a la recta ΑΒ [Prop. I.31]. Y puesto que ΑΒ es paralela a CΕ y ΑC ha incidido sobre ellas, los ángulos alternos ∠ΒΑC, ∠ΑCΕ son iguales entre sí [Prop. I.29]. Puesto que, a su vez, ΑΒ es paralela a CΕ y la recta ΒD ha incidido sobre ellas, el ángulo externo ∠ΕCD es igual al interno y opuesto ∠ΑΒC [ Prop. I.29]. Pero se ha demostrado ∠ΑCΕ = ∠ΒΑC; por tanto, ∠ΑCD es igual a la suma de los dos internos y opuestos ∠ΒΑC, ∠ΑΒC. Añádase al uno y a los otros el ángulo ∠ΑCΒ; entonces ∠ΑCD + ∠ΑCΒ = ∠ΑΒC + ∠ΒCΑ + ∠CΑΒ. Pero ∠ΑC + ∠ΑCΒ es igual a dos rectos [Prop. I.13]; por tanto, ∠ΑCΒ + ∠CΒΑ + ∠CΑΒ es también igual a dos rectos.
Q. E. D.