Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes del triángulo, el ángulo comprendido por esos lados restantes del triángulo es recto.

Sea, pues, ΒC²=BA²+ΑC² Paso 1. Digo que ∠ΒΑC es recto.

Pues trácese la recta ΑD perpendicular a la recta ΑC en el punto Α [Prop. I.11] y hágase ΑD = ΒΑ [Prop. I.3]Paso 2, y trácese DC Paso 3. Puesto que DΑ = ΑΒ, entonces DΑ² = ΑΒ². Añádase a ambos ΑC²; entonces DΑ²+ΑC²=ΒΑ²+ΑC². Pero DC² = DΑ²+ΑC²: porque el ángulo ∠DΑC es recto [Prop. I.47]; pero ΒC²=ΒΑ²+ΑC²: porque esto es lo que se ha supuesto; por tanto, DC²=ΒC²; de modo que también DC = ΒC; y como DΑ = ΑΒ, y ΑC es común, entonces DΑ = BA, ΑC = ΑC; y DC = ΒC; por tanto, ∠DΑC = ∠ΒΑC [Prop. I.8]. Pero ∠DΑC es recto; luego también es recto el ángulo ∠ΒΑC.

Q. E. D.