La recta que incide sobre rectas paralelas hace los ángulos alternos iguales entre sí, y el ángulo externo igual al interno y opuesto, y los ángulos internos del mismo lado suplementarios.
Incida la recta ΕF sobre las rectas paralelas ΑΒ, CD . Digo que hace iguales los ángulos alternos ∠ΑGH, ∠GHD, y el ángulo externo ∠ΕGΒ igual al interno y opuesto ∠GHD, y los ángulos internos del mismo lado: ∠ΒGH, ∠GHD, suplementarios .
Pues si ∠ΑGH ≠ ∠GHD, uno de ellos es mayor. Sea ∠ΑGH el mayor; añádase a ambos el ángulo ∠ΒGH; entonces ∠ΑGH+∠ΒGH ⊐ ∠ΒGH+ ∠GHD . Pero ∠ΑGH+ ∠ΒGH es igual a dos rectos [Prop. I.13]. Por tanto, ∠ΒGH+∠GHD es menor que dos rectos. Pero las rectas prolongadas indefinidamente a partir de ángulos menores que dos rectos se encuentran [Post. 5]; luego las rectas ΑΒ, CD, prolongadas indefinidamente se encontrarán; pero no se encuentran, porque se las ha supuesto paralelas; por tanto, el ángulo ∠ΑGH no es desigual al ángulo ∠GHD; luego es igual. Pero ∠ΑGH = ∠ΕGΒ [Prop. I.15]; por tanto, ∠ΕGΒ = ∠GHD [N.C. 1]. Añádase a ambos ∠ΒGH; entonces ∠ΕGΒ+ ∠ΒGH = ∠ΒGH+ ∠GHD [N.C. 2], Pero ∠ΕGΒ+∠ΒGH es igual a dos rectos [Prop. I.13]; por tanto, ∠ΒGH+∠GHD es también igual a dos rectos.
Q. E. D.