Si dos rectas forman con una recta cualquiera y en un punto de ella ángulos adyacentes iguales a dos rectos y no están en el mismo lado de ella, ambas rectas estarán en línea recta.
Así pues, sean dos rectas ΒC, ΒD que, con una recta cualquiera ΑΒ y en un punto de ella Β y sin estar colocadas en el mismo lado de la recta ΑΒ, formen dos ángulos adyacentes ∠ΑΒC, ∠ΑΒD suplementarios . Digo que ΒD está en línea recta con CΒ. Pues si ΒD no está en línea recta con ΒC , esté ΒΕ en línea recta con CΒ .
Así pues, dado que la recta ΑΒ ha sido levantada sobre la recta CΒΕ, entonces los ángulos ∠ΑΒC, ∠ΑΒΕ son suplementarios [Prop. I.13]; pero también los ángulos ∠ΑΒC, ∠ABD son suplementarios; por tanto ∠CΒΑ+∠ΑΒΕ=∠CΒΑ+∠ΑΒD [Post. 4 y N.C. 1]. Quítese de ambos el ángulo común ∠CΒΑ; luego ∠ABE = ∠ABD [N.C. 3], el menor al mayor; lo cual es imposible. Por tanto, ΒΕ no está en línea recta con CΒ. Y de modo semejante demostraríamos esto de cualquier otra que no sea la recta ΒD. Por tanto, CΒ está en línea recta con ΒD.
Q. E. D.