En todo triángulo dos lados tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante.
Sea, pues, △ΑΒC el triángulo . Digo que dos lados del triángulo △ΑΒC tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante, ΒΑ+ΑC ⊐ ΒC, ΑΒ + ΒC ⊐ ΑC, y ΒC + CΑ ⊐ ΑΒ.
Prolónguese por el otro lado ΒΑ hasta el punto D , y hágase ΑD = CΑ y trácese DC . Entonces como DΑ = ΑC, también ∠ΑDC = ∠ΑCD [Prop. I.5]; por tanto, ∠ΒCD ⊐ ∠ΑDC [N.C. 5] y puesto que △ΑCΒ es un triángulo que tiene ∠ΒCD ⊐ ∠ΒDC, y al ángulo mayor lo subtiende el lado mayor [Prop. I.19], entonces DΒ ⊐ ΒC. Pero DΑ = ΑC; por tanto, ΒΑ + ΑC ⊐ ΒC; de manera semejante demostraríamos que ΑΒ + ΒC ⊐ CΑ y ΒC + CΑ ⊐ ΑΒ.
Q. E. D.