Aplicar a una recta dada en un ángulo rectilíneo dado, un paralelogramo equivalente a un triángulo dado.
Sea ΑΒ la recta dada , △C el triángulo dado y ∠D el ángulo rectilíneo dado .
Así pues, hay que aplicar a la recta dada ΑΒ, en un ángulo igual a ∠D, un paralelogramo equivalente al triángulo dado △C.
Constrúyase el paralelogramo ▱ΒΕFG igual al triángulo △C en el ángulo ∠ΕΒG, que es igual al ∠D [Prop. I.42]; y hágase de manera que ΒΕ esté en línea recta con ΑΒ y prolónguese hacia el otro lado FG hasta H , y por el punto Α trácese ΑH paralela a una de las dos rectas ΒG, ΕF [Prop. I.31], y trácese HΒ . Y dado que la recta HF incide sobre las paralelas ΑH, ΕF, entonces los ángulos ∠ΑHF, ∠HFΕ son suplementarios [Prop. I.29]. Por tanto, ∠ΒHG+∠GFΕ es menor que dos rectos y las rectas prolongadas indefinidamente a partir de ángulos menores que dos rectos, se encuentran [Post. 5]; luego HΒ, FΕ prolongadas se encontrarán. Prolónguense y encuéntrense en K , y por el punto K trácese ΚL paralela a las dos rectas ΕΑ, FH [Prop. I.31] y prolónguense HΑ, GΒ hasta los puntos L, Μ . Entonces ▱FLΚH es un paralelogramo y HΚ su diagonal, y ▱ΑG, ▱ME los paralelogramos situados en torno a HΚ, y ▱LΒ, ▱ΒF los llamados complementos; por tanto, ▱LΒ = ▱ΒF [Prop. I.43]. Pero ▱ΒF = △C; luego ▱LΒ = △C [N.C. 1]. Y como ∠GΒΕ = ∠ΑΒΜ [Prop. I.15], mientras que ∠GΒΕ = ∠D, entonces ∠ΑΒΜ = ∠D.
Q. E. D.