Definiciones I

Definiciones Libro I

Definición 1. Un punto es lo que no tiene partes.
Definición 2. Una línea es una longitud sin anchura.
Definición 3. Los extremos de una línea son puntos.
Definición 4. Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.
Definición 5. Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura.
Definición 6. Los extremos de una superficie son líneas.
Definición 7. Una superficie plana es aquella superficie que yace por igual respecto de las líneas que están en ella.
Definición 8. Un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta.
Definición 9. Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo.
Definición 10. Cuando una línea recta que está sobre otra hace que los ángulos adyacentes sean iguales, cada uno de los ángulos es recto, y la recta que está sobre la otra se llama perpendicular a la otra recta.
Definición 11. Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto.
Definición 12. Un ángulo agudo es un ángulo menor que un ángulo recto.
Definición 13. Un límite es lo que es extremo de algo.
Definición 14. Una figura es aquello que está contenido por cualquier límite o límites.
Definición 15. Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea llamada circunferencia de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.
Definición 16. Y el punto se llama centro del círculo.
Definición 17. Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera que pasa por el centro y que acaba en ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta línea recta también divide el círculo en dos partes iguales.
Definición 18. Un semicírculo es la figura comprendida entre el diámetro y la circunferencia cortada por él. El centro del semicírculo es el mismo que el del círculo.
Definición 19. Figuras rectilíneas son aquellas que están comprendidas por líneas rectas, triláteras las comprendidas por tres, cuadriláteras les comprendidas por cuatro y multiláteras les comprendidas por más de cuatro líneas rectas.
Definición 20. De los triángulos, el equilátero es el que tiene los tres lados iguales; isósceles el que tiene dos lados iguales y uno de desigual; y escaleno el que tiene los tres lados desiguales.
Definición 21. De los triángulos, triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, obtusángulo el que tiene un ángulo obtuso y acutángulo el que tiene los tres ángulos agudos.
Definición 22. De los cuadriláteros, cuadrado es el que tiene los lados iguales y los ángulos rectos; rombo el que es equilátero, pero no tiene los ángulos rectos; y romboide el que tiene los lados y los ángulos opuestos iguales, pero ni es equilátero ni tiene los ángulos rectos. Los otros cuadriláteros se llaman trapecios.
Definición 23. Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.

Definiciones Libro II

Definición 1. De todo paralelogramo rectangular se dice que está comprendido por las dos rectas que comprenden el ángulo recto.
Definición 2. En toda área de paralelogramo se llama gnomon a uno cualquiera de los paralelogramos situados en torno a su diagonal junto con los dos complementos.

Definiciones Libro III

Definición 1. Circunferencias iguales son aquellas cuyos diámetros son iguales, o los radios son iguales.
Definición 2. Una recta es tangente a una circunferencia cuando, tocando a la circunferencia y siendo alargada no corta a la circunferencia.
Definición 3. Dos circunferencias son tangentes cuando, tocándose el uno con el otro no se cortan.
Definición 4. En un círculo las rectas están a la misma distancia del centro, cuando las perpendiculares dibujadas desde el centro hasta ellas, son iguales.
Definición 5. Está a mayor distancia aquella recta sobre la que cae la perpendicular mayor.
Definición 6. Un segmento de un círculo es la figura comprendida por una recta y una circunferencia de un círculo.
Definición 7. Un ángulo de un segmento es el que está comprendido por una recta y una circunferencia de un círculo.
Definición 8. Ángulo en un segmento es el ángulo que cuando se determina un punto sobre una circunferencia del segmento y se dibujan rectas desde el punto hasta los extremos de la recta que es la base del mismo segmento, está comprendido por las rectas dibujadas.
Definición 9. Cuando las rectas que comprenden el ángulo cortan a una circunferencia se dice que el ángulo está en la circunferencia.
Definición 10. Un sector de un círculo es la figura que, cuando se construye un ángulo en el centro del círculo, está comprendida por las rectas que comprenden el ángulo y la circunferencia que corta a las rectas.
Definición 11. Segmentos semejantes de un círculo son los que admiten ángulos iguales, o aquellos en los que los ángulos son iguales entre si.

Definiciones Libro IV

Definición 1. Se dice que una figura rectilínea está inscrita en otra figura rectilínea, cuando cada uno de los ángulos de la figura inscrita toca los lados respectivos de la figura en la que se inscribe.
Definición 2. De manera semejante, se dice que una figura está circunscrita en torno de otra figura, cuando cada lado de la figura circunscrita toca los ángulos respectivos de la figura a la que circunscribe.
Definición 3. Se dice que una figura rectilínea está inscrita en un círculo, cuando cada ángulo de la figura inscrita toca la circunferencia del círculo.
Definición 4. Se dice que una figura rectilínea está circunscrita en torno a un círculo, cuando cada lado de la figura circunscrita toca a la circunferencia del círculo.
Definición 5. De manera semejante, se dice que un círculo está inscrito en una figura, cuando la circunferencia del círculo toca cada lado de la figura en la que está inscrita.
Definición 6. Se dice que un círculo está circunscrito en torno de una figura, cuando la circunferencia del círculo toca cada ángulo de la figura en torno a la que está circunscrita.
Definición 7. Se dice que una recta está adaptada a un círculo, cuando sus extremos están en la circunferencia del círculo.

Definiciones Libro V

Definición 1. Una magnitud es parte de una magnitud, la menor de la mayor, cuando mide a la mayor.
Definición 2. Y la mayor es múltiplo de la menor cuando es medida por la menor.
Definición 3. Una razón es determinada relación con respecto a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas.
Definición 4. Se dice que guardan razón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra.
Definición 5. Se dice que una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cuando cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera excedan a la par, sean iguales a la par o resulten inferiores a la par, que cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta, respectivamente y tomados en el orden correspondiente.
Definición 6. Llámense proporcionales las magnitudes que guardan la misma razón.
Definición 7. Entre los equimúltiplos, cuando el múltiplo de la primera excede al múltiplo de la segunda pero el múltiplo de la tercera no excede al múltiplo de la cuarta, entonces se dice que la primera guarda con la segunda una razón mayor que la tercera con la cuarta.
Definición 8. Una proporción entre tres términos es la menor posible.
Definición 9. Cuando tres magnitudes son proporcionales, se dice que la primera guarda con la tercera una razón duplicada de la que guarda con la segunda.
Definición 10. Cuando cuatro magnitudes son proporcionales, se dice que la primera guarda con la cuarta una razón triplicada de la que guarda con la segunda, y así siempre, sucesivamente, sea cual fuere la proporción.
Definición 11. Se llaman magnitudes correspondientes las antecedentes en relación con las antecedentes y las consecuentes con las consecuentes.
Definición 12. Una razón por alternancia consiste en tomar el antecedente en relación con el antecedente y el consecuente en relación con el consecuente.
Definición 13. Una razón por inversión consiste en tomar el consecuente como antecedente en relación con el antecedente como consecuente.
Definición 14. La composición de una razón consiste en tomar el antecedente junto con el consecuente como una sola magnitud en relación con el propio consecuente.
Definición 15. La separación de una razón consiste en tomar el exceso por el que el antecedente excede al consecuente en relación con el propio consecuente.
Definición 16. La conversión de una razón consiste en tomar el antecedente en relación con el exceso por el que el antecedente excede al consecuente.
Definición 17. Una razón por igualdad se da cuando, habiendo varias magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, sucede que como la primera es a la última --entre las primeras magnitudes--, así --entre las segundas magnitudes-- la primera es a la última; o, dicho de otro modo, consiste en tomar los extremos sin considerar los medios.
Definición 18. Una proporción perturbada se da cuando habiendo tres magnitudes y otras iguales a ellas en número, sucede que como el antecedente es al consecuente --entre las primeras magnitudes--, así --entre las segundas magnitudes-- el antecedente es al consecuente, y como el consecuente es a alguna otra magnitud --entre las primeras magnitudes--, así --entre las segundas magnitudes-- alguna otra magnitud es al antecedente.

Definiciones Libro VI

Definición 1. Figuras rectilíneas semejantes son las que tienen los ángulos iguales uno a uno y proporcionales los lados que comprenden los ángulos iguales.
Definición 2. Dos figuras están inversamente relacionadas cuando en cada una de las figuras hay razones antecedentes y consecuentes.
Definición 3. Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al menor.
Definición 4. Se dice que guardan razón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra.

Definición 5.

Definiciones Libro VII

Definición 1. Una unidad es aquello en virtud de la cual una de las cosas que hay, se llama uno.
Definición 2. Un número es una pluralidad compuesta de unidades.
Definición 3. Un número es parte de un número, el menor del mayor, cuando mide al mayor.
Definición 4. Pero partes cuando no lo mide.
Definición 5. Y el mayor es múltiplo del menor cuando es medido por el menor.
Definición 6. Un número par es el que se divide en dos partes iguales.
Definición 7. Un número impar es el que no se divide en dos partes iguales, o se diferencia de un número par de una unidad.
Definición 8. Un número parmente par es el medido por un número par según un número par.
Definición 9. Y parmente impar es el medido por un número par según un número impar.
Definición 10. Imparmente par es el medido por un número impar según un número par.
Definición 11. Un número imparmente impar es el medido por un número impar según un número impar.
Definición 12. Un número primo es el medido por la sola unidad.
Definición 13. Número primos entre sí son los medidos por la sola unidad como medida común.
Definición 14. Número compuesto es el medido por algún número.
Definición 15. Números compuestos entre sí son los medidos por algún número como medida común.
Definición 16. Se dice que un número multiplica a un número cuando el multiplicado se añade a sí mismo tantas veces como unidades hay en el otro y resulta un número.
Definición 17. Cuando dos números, al multiplicarse entre sí, hacen algún número, el resultado se llama número plano y sus lados son los números que se han multiplicado entre sí.
Definición 18. Cuando tres números, al multiplicarse entre sí, hacen algún número, el resultado es un número sólido y sus lados son los números que se han multiplicado entre sí.
Definición 19. Un número cuadrado es el multiplicado por sí mismo o el comprendido por dos números iguales.
Definición 20. Y un número cubo el multiplicado dos veces por sí mismo o el comprendido por tres números iguales.
Definición 21. Unos números son proporcionales cuando el primero es el mismo múltiplo o la misma parte o las mismas partes del segundo que el tercero del cuarto.
Definición 22. Números planos y sólidos semejantes son los que tienen los lados proporcionales.
Definición 23. Número perfecto es el que es igual a sus partes.

Primeras Definiciones Libro X

Definición 1. Se llaman magnitudes conmensurables aquellas que se miden con la misma medida, e inconmensurables aquellas de las que no es posible que haya una medida común.
Definición 2. Las líneas rectas son conmensurables en cuadrado cuando sus cuadrados se miden con la misma área, e inconmensurables cuando no es posible que sus cuadrados tengan un área como medida común.
Definición 3. Dados estos supuestos, se demuestra que hay un número infinito de rectas respectivamente conmensurables e inconmensurables, unas sólo en longitud y otras también en cuadrado con una recta determinada. Llámese entonces racional la recta determinada; y las conmensurables con ella, bien en longitud y en cuadrado, bien sólo en cuadrado, racionales y las inconmensurables con ella llámense irracionales.
Definición 4. Y el cuadrado de la recta determinada llámese racional, y los cuadrados conmensurables con éste racionales; pero los inconmensurables con él llámense irracionales; y las rectas que los producen llámense irracionales, a saber, si fueran cuadrados, los propios lados y si fueran otras figuras rectilíneas, aquellas rectas que construyan cuadrados iguales a ellos.

Segundas Definiciones Libro X

Definición 1. Dada una recta racional y otra binomial dividida en sus términos, de forma que el cuadrado del término mayor sea mayor que el cuadrado del término menor en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con él el mayor; si el término mayor es conmensurable en longitud con la recta racional dada, llámese la recta entera primera binomial.
Definición 2. Y si el término menor es conmensurable en longitud con la recta racional, llámese la recta entera segunda binomial.
Definición 3. Pero si ninguno de los términos es conmensurable en longitud con la recta racional dada, llámese la recta entera tercera binomial.
Definición 4. Si el cuadrado del término mayor es, a su vez, mayor que el del menor en el cuadrado de una recta inconmensurable en longitud con el mayor, entonces, si el término mayor es conmensurable en longitud con la recta racional dada, llámese la recta entera cuarta binomial.
Definición 5. Pero si lo es el menor, quinta.
Definición 6. Y si ninguno de los dos, sexta.

Terceras Definiciones Libro X

Definición 1. Dada una recta racional y una apótoma, si el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la recta adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con ella la recta entera, y la recta entera es conmensurable en longitud con la recta racional dada, llámese la apótoma primera apótoma.
Definición 2. Y si la recta adjunta es conmensurable en longitud con la recta racional dada, y el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable con ella, llámese la apótoma segunda apótoma.
Definición 3. Y si ninguna de las dos es conmensurable en longitud con la recta racional dada, y el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable con ella, llámese la apótoma tercera apótoma.
Definición 4. Si, a su vez, el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella la recta entera, entonces, si la recta entera es conmensurable en longitud con la recta racional dada, llámese la apótoma cuarta apótoma.
Definición 5. Pero si la adjunta es conmensurable, quinta.
Definición 6. Y si ninguna de las dos es conmensurable, sexta.

Definiciones Libro XI

Definición 1. Un sólido es lo que tiene longitud, anchura y profundidad.
Definición 2. Y el extremo de un sólido es una superficie.
Definición 3. Una recta es ortogonal a un plano cuando forma ángulos rectos con todas las rectas que la tocan y que están en el plano.
Definición 4. Un plano es ortogonal a un plano cuando las rectas trazadas en uno de los planos formando ángulos rectos con la sección común de los dos planos forman ángulos rectos con el plano restante.
Definición 5. Cuando desde el extremo de una recta elevado sobre un plano se traza una perpendicular al plano y se traza otra recta desde el punto que resulta hasta el extremo que está en el plano de la primera recta, el ángulo comprendido por la recta así trazada y la que está sobre el plano es la inclinación de la recta respecto al plano.
Definición 6. La inclinación de un plano con respecto a un plano es el ángulo agudo comprendido por las rectas trazadas a un mismo punto formando ángulos rectos con la sección común en cada uno de los planos.
Definición 7. Se dice que un plano se inclina sobre un plano de manera semejante a como otro se inclina sobre otro, cuando dichos ángulos de inclinación son iguales entre sí.
Definición 8. Planos paralelos son los no concurrentes.
Definición 9. Figuras sólidas semejantes son las comprendidas por planos semejantes iguales en número.
Definición 10. Figuras sólidas iguales y semejantes son las comprendidas por planos semejantess iguales en número y tamaño.
Definición 11. Un ángulo sólido es la inclinación de más de dos líneas que se tocan entre sí y no están en la misma superficie con respecto a todas las líneas. O de otra forma: un ángulo sólido es el comprendido por más de dos ángulos planos construidos en el mismo punto, sin estar en el mismo plano.
Definición 12. Una pirámide es una figura sólida comprendida por planos, construida desde un plano a un punto.
Definición 13. Un prisma es una figura sólida comprendida por planos dos de los cuales, los opuestos, son iguales, semejantes y paralelos, mientras que los demás son paralelogramos.
Definición 14. Cuando, permaneciendo fijo el diámetro de un semicírculo, se hace girar el semicírculo y se vuelve de nuevo a la misma posición desde donde empezó a moverse, la figura comprendida es una esfera.
Definición 15. Y el eje de la esfera es la recta que permanece fija en torno a la que gira el semicírculo.
Definición 16. Y el centro de la esfera es el mismo que el del semicírculo.
Definición 17. Y el diámetro de la esfera es cualquier recta trazada a través del centro y limitada en ambas direcciones por la superficie de la esfera.
Definición 18. Cuando, permaneciendo fijo uno de los lados que comprenden el ángulo recto de un triángulo rectángulo, se hace girar el triángulo y se vuelve de nuevo a la posición desde donde empezó a moverse, la figura comprendida es un cono. Y si la recta que permanece fija es igual a la restante del ángulo recto, el cono será rectángulo, y si es menor obtusángulo y si es mayor acutángulo.
Definición 19. Y el eje del cono es la recta que permanece fija en torno a la que gira el triángulo.
Definición 20. Y la base, el círculo descrito por la recta que gira.
Definición 21. Cuando, permaneciendo fijo uno de los lados que comprenden el ángulo recto de un paralelogramo rectángulo, se hace girar el paralelogramo y vuelve de nuevo a la misma posición desde donde empezó a moverse, la figura comprendida es un cilindro.
Definición 22. Y el eje del cilindro es la recta que permanece fija en torno a la que gira el paralelogramo.
Definición 23. Y las bases son los círculos descritos por los dos lados opuestos que giran.
Definición 24. Conos y cilindros semejantes son aquellos cuyos ejes y diámetros de las bases son proporcionales.
Definición 25. Un cubo es la figura sólida comprendida por seis cuadrados iguales.
Definición 26. Un octaedro es una figura sólida comprendida por ocho triángulos iguales y equiláteros.
Definición 27. Un icosaedro es la figura sólida comprendida por viente triángulos iguales y equiláteros.
Definición 28. Un dodecaedro es la figura sólida comprendida por doce pentágonos iguales equiláteros y equiángulos.