A partir de una recta dada, construir una figura rectilínea semejante y situada de manera semejante a una figura rectilínea dada.

Sea AB la recta dada Paso 1 y CE la figura rectilínea dada Paso 2. Así pues, hay que construir, sobre la recta AB, una figura rectilínea semejante y situada de manera semejante a la figura rectilínea CE.

Trácese DF Paso 3, y constrúyase sobre la recta AB y en sus puntos A, B el ángulo GAB igual al ángulo correspondiente a C Paso 4, y el ángulo ABG igual al ángulo CDF [Prop. I.23]Paso 5. Entonces el ángulo restante CFD es igual al ángulo AGB [Prop. I.32]; así pues el triángulo FCD y el triángulo GAB son equiángulos. Entonces, proporcionalmente, como FD es a GB, así FC a GA, y CD a AB [Prop. VI.4]. Constrúyase a su vez, sobre la recta BG y en sus puntos B, G, el ángulo BGH igual al ángulo DFE, y el ángulo GBH igual al ángulo FDE [Prop. I.23]Paso 6. Entonces el ángulo restante correspondiente a E es igual al ángulo restante correspondiente a H [Prop. I.32]; por tanto el triángulo FDE y el triángulo GHB son equiángulos. Así pues, proporcionalmente, como FD es a GB, así FE a GH y ED a HB [Prop. VI.4]. Pero se ha demostrado que también, como FD es a GB, así FC a GA y CD a AB; por tanto, asimismo, como FC es a AG, así CD a AB y FE a GH y también ED a HB. Y, dado que el ángulo CFD es igual al ángulo AGB, y el ángulo DFE al ángulo BGH, entonces, el ángulo entero CFE es igual al ángulo entero AGH. Por lo mismo, el ángulo CDE es también igual al ángulo ABH. Pero el ángulo correspondiente a C es también igual al ángulo correspondiente a A, y el ángulo correspondiente a E, al correspondiente a H. Entonces la figura AH es de ángulos iguales a los de la figura CE; y tienen proporcionales los lados que comprenden los ángulos iguales; por tanto, la figura rectilínea AH es semejante a la figura rectilínea CE [Def. VI.1].

Por consiguiente, a partir de la recta AB, se ha construido la figura rectilínea AH, semejante y situada de manera semejante a la figura rectilínea dada CE.

Q. E. F.