Si cuatro rectas son proporcionales, el rectángulo comprendido por las extremas es igual al rectángulo comprendido por las medias; y si el rectángulo comprendido por las extremas es igual al rectángulo comprendido por las medias, las cuatro rectas serán proporcionales.
Sean AB, CD, E, F cuatro rectas proporcionales , a saber: como AB es a CD, así E a F.
Digo que el rectángulo comprendido por AB, F es igual al rectángulo comprendido por CD, E.
Trácense a partir de los puntos A, C, las rectas AG, CH que formen ángulos rectos con las rectas AB, CD, y hágase AG igual a F, y CH igual a E . Y complétense los paralelogramos BG, DH .
Pues bien, dado que, como AB es a CD, así E a F, mientras que E es igual a CH y F a AG, entonces, como AB es a CD, así CH a AG. Por tanto, en los paralelogramos BG, DH, los lados que comprenden los ángulos iguales son inversamente proporcionales; y aquellos paralelogramos equiángulos, que tienen los lados que comprenden los ángulos iguales inversamente proporcionales, son iguales [Prop. VI.14]; luego el paralelogramo BG es igual al paralelogramo AH. Y BG es el rectángulo comprendido por AB, F: porque AG es igual a F. Pero DH es el rectángulo comprendido por CD, E: porque E es igual a CH; entonces, el rectángulo comprendido por AB, F es igual al rectángulo comprendido por CD, E.
Pero, ahora, sea igual el rectángulo comprendido por AB, F al rectángulo comprendido por CA, E.
Digo que las cuatro rectas serán proporcionales, a saber: como AB es a CD, así E a F.
Pues, siguiendo la misma construcción, dado que el rectángulo comprendido por AB, F es igual al rectángulo comprendido por CD, E, y el rectángulo comprendido por AB, F es el rectángulo BG: porque AG es igual a F; mientras que el rectángulo comprendido por CD, E es el rectángulo DH: porque CH es igual a E; entonces BG es igual a DH. Y son equiángulos. Pero en los paralelogramos iguales y equiángulos, los lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados [Prop. VI.14]. Así pues, como AB es a CD, así CH a AG. Pero CH es igual a E y AG a F; por tanto, como AB es a CD, así E a F.
Por consiguiente, si cuatro rectas son proporcionales, el rectángulo comprendido por las extremas es igual al rectángulo comprendido por las medias; y si el rectángulo comprendido por las extremas es igual al rectángulo comprendido por las medias, las cuatro rectas serán proporcionales.
Q. E. D.