Si en un triángulo rectángulo se traza una perpendicular desde el ángulo recto hasta la base, los triángulos adyacentes a la perpendicular son semejantes al triángulo entero y entre sí.
Sea ABC el triángulo rectángulo que tiene el ángulo recto BAC , y trácese desde A hasta BC la perpendicular AD .
Digo que cada uno de los triángulos ABD, ADC es semejante al triángulo entero ABC y también son semejantes entre sí .
Pues como el ángulo BAC es igual al ángulo ADB: porque cada uno de ellos es recto; y el ángulo correspondiente a B es común a los dos triángulos ABC, ABD, entonces, el ángulo restante ACB es igual al ángulo restante BAD [Prop. I.32]; por tanto, el triángulo ABC y el triángulo ABD son equiángulos. Luego, como el lado BC que subtiende el ángulo recto del triángulo ABC es al lado BA que subtiende el ángulo recto del triángulo ABD, así el propio lado AB que subtiende el ángulo correspondiente a C del triángulo ABC es al lado BD que subtiende el ángulo igual BAD del triángulo ABD, y también el lado AC al lado AD que subtiende el ángulo correspondiente a B común a los dos triángulos [Prop. VI.4]. Por tanto el triángulo ABC y el triángulo ABD son equiángulos y tienen proporcionales los lados que comprenden los ángulos iguales. Entonces el triángulo ABC es semejante al triángulo ABD [Def. VI.1].
De manera semejante demostraríamos que también el triángulo ABC es semejante al triángulo ADC; por tanto cada uno de los triángulos ABD, ADC son semejantes al triángulo entero ABC.
Digo ahora que los triángulos ABD, ADC son también semejantes entre sí.
Pues como el ángulo recto BDA es igual al ángulo recto ADC y además se ha demostrado que también el ángulo BAD es igual al correspondiente a C, entonces el ángulo restante correspondiente a B es igual al ángulo restante DAC [Prop. I.32]; por tanto el triángulo ABD y el triángulo ADC son equiángulos. Luego, como el lado BD que subtiende al ángulo BAD del triángulo ABD es al lado DA que subtiende al ángulo correspondiente a C del triángulo ADC, igual al ángulo BAD, así el propio lado AD que subtiende el ángulo correspondiente a B del triángulo ABD es al lado AC que subtiende el ángulo ADC del triángulo ADC, igual al ángulo correspondiente a B, y también el lado BA al lado AC, los cuales subtienden los ángulos rectos [Prop. VI.4]. Entonces el triángulo ABD es semejante al triángulo ADC [Def. VI.1].
Por consiguiente, si en un triángulo rectángulo se traza una perpendicular desde el ángulo recto hasta la base, los triángulos adyacentes a la perpendicular son semejantes al triángulo entero y entre sí.
Q. E. D.