Si cuatro rectas son proporcionales, las figuras rectilíneas semejantes y construidas de manera semejante a partir de ellas serán también proporcionales; y si las figuras semejantes y construidas de manera semejante a partir de ellas son proporcionales, las propias rectas serán también proporcionales.
Sean AB, CD, EF, GH cuatro rectas proporcionales tales que como AB es a CD, así EF a GH; y constrúyanse a partir de AB, CD, las figuras rectilíneas semejantes y situadas de manera semejante KAB, LCD , y a partir de EF, GH, las figuras rectilíneas semejantes y situadas de manera semejante MF, NH .
Digo que como KAB es a LCD, así MF a NH.
Pues tómese la tercera proporcional, O, a las rectas AB, CD , y la tercera proporcional, P, a las rectas EF y GH ; así EF a GH, y como CD es a O, así GH a P, entonces,
por igualdad, como AB es a O, así EF a P [Prop. V.22]. Pero como AB es a O, así la figura KAB a la figura LCD,
y como EF es a O,
así la figura MF a la figura NH [Cor. Prop. VI.19]; luego también, como la figura KAB es a la figura LCD,
así la figura MF a la figura NH [Prop. V.11].
Pero ahora sea MF a NH como KAB a LCD.
Digo que también como AB es a CD, así EF a GH.
Pues si EF no es a GH como AB es a CD, sea EF a QR como AB a CD [Prop. VI.12], y constrúyase sobre QR la figura rectilínea SR semejante y situada de modo semejante a una de las dos figuras MF, NH [Prop. VI.18].
Puesto que como AB es a CD, así EF a QR, y a partir de AB, CD han sido descritas las figuras semejantes y situadas de manera semejante KAB, LCD, y,
a partir de EF, QR, las figuras semejantes y situadas de manera semejante MF, SR; entonces, como KAB es a LCD, así MF a SR.
Pero también se ha supuesto que, como KAB es a LCD, así MF a NH; entonces, también, como MF es a SR, así MF a NH [Prop. V.11];
luego MF guarda la misma razón con cada una de las figuras NH, SR; por tanto NH es igual a SR [Prop. V.9]. Pero es semejante
y situada de manera semejante a ella; por tanto GH es igual a QR. Y, dado que, como AB es a CD, así EF a QR, y QR es igual a GH, entonces,
como AB es a CD, así EF a GH.
Por consiguiente, si cuatro rectas son proporcionales, las figuras rectilíneas semejantes y construidas de manera semejante a partir de ellas serán también proporcionales; y si las figuras rectilíneas semejantes y construidas de manera semejante a partir de ellas son proporcionales, las propias rectas serán también proporcionales.
Q. E. D.
Que si las figuras rectilíneas son iguales y semejantes, sus lados correspondientes
on iguales entre sí, lo demostraremos de la siguiente manera:
Sean NH, SR figuras rectilíneas iguales y semejantes y sea RQ a QS como HG a GN.
Digo que RQ es igual a HG.
Ques, si no son iguales, una de ellas es mayor. Sea mayor RQ que HG. Y dado que, como RQ es a QS, así HG a GN, y, por alternancia,
como RQ es a HG así QS a GN, y QR es mayor que HG, entonces QS es mayor que GN; de modo que también RS es mayor que HN. Pero también igual.
Lo cual es absurdo. Por consiguiente no es el caso de que QR no sea igual a GH; luego es igual.
Q. E. D.
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