Los triángulos semejantes guardan entre sí la razón duplicada de sus lados correspondientes.
Sean ABC , DEF triángulos semejantes que tienen el ángulo correspondiente a B igual al correspondiente a E , tales que, como AB es a BC, así DE es a EF, de modo que BC corresponda a EF [Def. V.11].
Digo que el triángulo ABC guarda con el triángulo DEF una razón duplicada de la que guarda BC con EF.
Tómese, pues, la tercera proporcional, BG , a las rectas BC, EF, de modo que, como BC es a EF, así EF a BG [Prop. VI.11]; y trácese AG .
Así pues, dado que, como AB es a BC, así DE a EF, entonces, por alternancia, como AB es a AE, así BC a EF [Prop. V.16]. Pero, como BC es a EF, así EF a BG. Por tanto, también, como AB es a DE, así EF a BG [Prop. V.11]; luego en los triángulos ABG, DEF, los lados que comprenden los ángulos iguales son inversamente proporcionales. Y aquellos triángulos que tienen un ángulo de uno igual a un ángulo del otro, cuyos lados que comprenden los ángulos iguales son inversamente proporcionales, son iguales [Prop. VI.15]. Por tanto el triángulo ABG es igual al triángulo DEF. Ahora bien, dado que como BC es a EF, así EF a BG, y, si tres rectas son proporcionales, la primera guarda con la tercera una razón duplicada de la que guarda con la segunda [Def. V.9], entonces BC guarda con BG una razón duplicada de la que guarda CB con EF. Pero como CB es a BG, así el triángulo ABC al triángulo ABG [Prop. VI.1]. Entonces el triángulo ABC guarda con el triángulo ABG una razón duplicada de la que BC guarda con EF. Pero el triángulo ABG es igual al triángulo DEF; entonces el triánguio ABC guarda con el triángulo DEF una razón duplicada de la que BC guarda con EF.
Por consiguiente, los triángulos semejantes guardan entre sí una razón duplicada de la que guardan los lados correspondientes.
Q. E. D.
A partir de esto queda claro, que, si tres rectas son proporcionales, entonces, como la primera es a la tercera, así la figura construida sobre la primera es a la figura construida de manera semejante sobre la segunda.