Si cuatro magnitudes son proporcionales, también por alternancia serán proporcionales.

Sean A Paso 1, B Paso 2, C Paso 3, D Paso 4, cuatro magnitudes proporcionales, a saber ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}$. Digo que lo serán también por alternancia, a saber como ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}}{\mathrm{D}}}$.

Tómense los equimúltiplos E=mA Paso 5, F=mB Paso 6 de A, B y otros equimúltiplos, tomados al azar, G=nC, H=nD de C, D. Y puesto que E es el mismo múltiplo de A que F de B, las partes guardan la misma razón que sus mismos múltiplos [Prop. V.15]; entonces, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$. Pero ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}$; luego, ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$ [Prop. V.11]. A su vez, puesto que G, H son equimúltiplos de C, D, entonces, ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{G}}{\mathrm{H}}}$ [Prop. V.15]. Pero ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$; luego ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{G}}{\mathrm{H}}}$ [Prop. V.11]. Por tanto, según sea E ≷ G, será F ≷ H [Prop. V.15]. Ahora bien, E, F son equimúltiplos de A, B, y G, H, otros equimúltiplos, tomados al azar, de C, D; luego, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}}{\mathrm{D}}}$ [Def. V.5].

Q. E. D.