Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual, y si es menor, menor.

Sean A Paso 1, B Paso 31, C Paso 3 tres magnitudes y D Paso 4, E Paso 5, F Paso 6 otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón, es decir que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{E}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$. Digo que según A ≷ C será D ≷ F.

Pues dado que A > C y B es otra magnitud cualquiera, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}$ [Prop. V.8]. Pero como ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{E}}}$, y por inversión, ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{E}}}$; luego ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{E}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{E}}}$ [Prop. V.13]. Así pues D > F [Prop. V.10].

En segundo lugar, si A = C , también será D = F. Ya que A = C, y B cualquier otra magnitud, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}$ [Prop. V.7]. Pero ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{E}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{E}}}$, luego ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{E}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{E}}}$ [Prop. V.11] y así D = F [Prop. V.9].

Finalmente, si A < C, también D < F. Ya que C > A, y ya que, por hipótesis e inversión, ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{E}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}}{\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{D}}}$, entonces, por el primer caso, F > D; y así D < F.

Q. E. D.