Si unas magnitudes son proporcionales por composición, también por separación serán proporcionales.
Sean AB , BE , CD , DF magnitudes proporcionales por composición de modo que \(\rm\dfrac{AB}{BE}=\dfrac{CD}{DF}\).
Digo que también por separación serán proporcionales, de modo que, \(\rm\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{CF}{DF}\).
Pues tómense los equimúltiplos GH=mAE , HK=mEB , LM=mCF , MN=mFD de AE, EB, CF, FD y otros equimúltiplos, tomados al azar, KO=nEB , NP=nFD de EB, FD.
Y dado que GH=mAE y HK=mEB, entonces GK=GH+HK=mAE+mEB=m(AE+EB)=mAB [Prop. V.1]. Pero LM = mCF y MN=mFD, entonces LN=LM+MN=mCF+mFD=m(CF+FD)=mCD [Prop. V.1]. Por tanto GK, LN son equimúltiplos de AB, CD. Como HK=mEB, y KO=nEB, la suma HO=HK+KO=mEB+nEB=(m+n)EB es también el mismo múltiplo de EB que MP=MN+NP=mFD+nFD=(m+n)FD de FD [Prop. V.2]. Ahora bien, dado que, \(\rm\dfrac{AB}{BE}=\dfrac{CD}{DF}\), y se han tomado los equimúltiplos GK, LN de AB, CD y los equimúltiplos HO, MP de EB, FD, entonces, según sea GK ≷ HO, será LN ≷ MP.
Sea GK > HO, entonces, GH=GK-HK > HO-HK=KO.
Pero si GK > HO, entonces LN > MP, y LM=LN-MN > MP-MN=NP; de modo que, si GH > KO, LM > NP.
De manera semejante demostraríamos que si GH = KO, LM = NP, y si GH < KO, LM < NP. Ahora bien, GH, LM son equimúltiplos de AE, CF, pero KO, NP son otros equimúltiplos tomados al azar de EB, FD; por tanto, \(\rm\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{CF}{FD}\).
Q. E. D.