Si cuatro magnitudes son proporcionales, la mayor y la menor juntas son mayores que las dos restantes.

Sean AB Paso 1, CD Paso 2, E Paso 3, F Paso 4 cuatro magnitudes proporcionales, es decir ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{C}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$; y sea la mayor de ellas AB y la menor F. Digo que AB+F > CD+E.

Pues hágase AG = E Paso 5 y CH = F Paso 6. Dado que, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{C}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$, y E = AG, mientras que F = CH, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{C}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{C}\mathrm{H}}}$. Ahora bien, ya que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{C}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{C}\mathrm{H}}}$, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{B}}{\mathrm{H}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}-\mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{C}\mathrm{H}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{C}\mathrm{D}}}$ [Prop. V.19]. Pero AB > CD; luego GB > HD. Y dado que AG = E y CH = F, entonces AG+F = CH+E. Y si, GB > HD, se sigue que AB+F = GB+AG+F > HD+CH+E=CD+E.

Q. E. D.