Si un número cualquiera de magnitudes fueren proporcionales, como sea una de las antecedentes a una de las consecuentes, así serán todas las antecedentes a las consecuentes.

Sean A Paso 1, B Paso 2, C Paso 3, D Paso 4, E Paso 5, F Paso 6 un número cualquiera de magnitudes proporcionales, de modo que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$. Digo que como ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{C}+\mathrm{E}}{\mathrm{B}+\mathrm{D}+\mathrm{F}}}$.

Tómense pues los equimúltiplos G=mA Paso 7, H=mC Paso 8, K=mE Paso 9 de A, C, E y otros equimúltiplos, tomados al azar, L=nB Paso 10, M=nD Paso 11, N=nF Paso 12 de B, D, F. Ahora bien, puesto que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$; y se han tomado los equimúltiplos G, H, K de A, C, E; y otros equimúltiplos, tomados al azar, L, M, N de B, D, F; entonces, según G ≷ L, será H ≷ M y K ≷ N. De modo que, según G ≷ L, será G+H+K ≷ L+M+N. Tanto G como G+H+K son equimúltiplos de A y de A+C+E, pues, G+H+K=mA+mC+mE=m(A+C+E) [Prop. V.1]. Por la misma razón, L+M+N=nB+nD+nF=n(B+D+F), luego tanto L como L+M+N son equimúltiplos de B y de B+D+F; luego, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{C}+\mathrm{E}}{\mathrm{B}+\mathrm{D}+\mathrm{F}}}$ [Def. V.5].

Q. E. D.