Si un número cualquiera de magnitudes fueren proporcionales, como sea una de las antecedentes a una de las consecuentes, así serán todas las antecedentes a las consecuentes.
Sean A , B , C , D , E , F un número cualquiera de magnitudes proporcionales, de modo que \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}=\dfrac{E}{F}\).
Digo que como \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{A+C+E}{B+D+F}\).
Tómense pues los equimúltiplos G=mA , H=mC , K=mE de A, C, E y otros equimúltiplos, tomados al azar, L=nB , M=nD , N=nF de B, D, F.
Ahora bien, puesto que \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}=\dfrac{E}{F}\); y se han tomado los equimúltiplos G, H, K de A, C, E; y otros equimúltiplos, tomados al azar, L, M, N de B, D, F; entonces, según G ≷ L, será H ≷ M y K ≷ N. De modo que, según G ≷ L, será G+H+K ≷ L+M+N.
Tanto G como G+H+K son equimúltiplos de A y de A+C+E, pues, G+H+K=mA+mC+mE=m(A+C+E) [Prop. V.1].
Por la misma razón, L+M+N=nB+nD+nF=n(B+D+F), luego tanto L como L+M+N son equimúltiplos de B y de B+D+F; luego, \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{A+C+E}{B+D+F}\) [Def. V.5].
Q. E. D.