Si una primera magnitud es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera de una cuarta, y se toman equimúltiplos de la primera y la tercera, también por igualdad cada una de las dos magnitudes tomadas serán equimúltiplos, respectivamente, una de la segunda, y la otra de la cuarta.

Sea A=mB, la primera, el mismo múltiplo de B, la segunda Paso 1, que C=mD, la tercera, es de D, la cuarta Paso 2; tómese EF=nA, el mismo múltiplo de A Paso 3, que GH=nC, es de C Paso 4. Digo que EF=n(mB)=nmB, es el mismo múltiplo de B, que GH=n(mD)=nmD, es de D.

Porque siendo EF el mismo múltiplo de A, que GH de C, cuantas magnitudes haya en EF iguales a A, tantas habrá en GH iguales á C. Divídase EF en las magnitudes EK, KF iguales a A y GH en las magnitudes GL, LH iguales a C; resultará que el número de las magnitudes EK, KF será igual al de las GL, LH. Y por ser A el mismo múltiplo de B que C es de D, mientras que EK = A, y GL = C, será EK el mismo múltiplo de B que GL es de D. Por la misma razón, KF será el mismo múltiplo de B que LH es de D. Ya que EK=mB, GL=mD y KF=mB, LH=mD, entonces EF = EK+KF = mB+mB = n(mB) = nmB y GH = GL+LH = mD+mD = n(mD) = nmD [Prop. V.2].

Q. E. D.