Si como un todo es a otro todo, así es una parte quitada de uno a una parte quitada de otro, la parte restante será también a la parte restante como el todo es al todo.

Sea el total AB Paso 1 al total CD Paso 2, como la parte quitada AE Paso 3 es a la parte quitada CF Paso 4, \(\rm\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{AE}{CF}\). Digo que la parte restante EB será también a la parte restante FD como el total AB es al total CD, \(\rm\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{EB}{FD}\).

Pues, dado que \(\rm\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{AE}{CF}\), también, por alternancia, \(\rm\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{CD}{CF}\) [Prop. V.16]. Y puesto que son magnitudes proporcionales por composición, también por separación serán proporcionales [Prop. V.17] es decir \(\rm\dfrac{EB}{AE}=\dfrac{FD}{CF}\); y, por alternancia, \(\rm\dfrac{EB}{FD}=\dfrac{AE}{CF}\) [Prop. V.16]. Pero, \(\rm\dfrac{AE}{CF}=\dfrac{AB}{CD}\). Luego \(\rm\dfrac{EB}{FD}=\dfrac{AB}{CD}\) [Prop. V.11].

Q. E. D.

A partir de esto queda claro que si unas magnitudes son proporcionales por composición, también por conversión serán proporcionales.

Y puesto que se ha demostrado que \(\rm\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{EB}{FD}\), también por alternancia, \(\rm\dfrac{AB}{BE}=\dfrac{CD}{FD}\), luego son magnitudes proporcionales por composición; pero se ha demostrado que \(\rm\dfrac{BA}{AE}=\dfrac{DC}{CF}\); y esto es por conversión.