Si como un todo es a otro todo, así es una parte quitada de uno a una parte quitada de otro, la parte restante será también a la parte restante como el todo es al todo.

Sea el total AB Paso 1 al total CD Paso 2, como la parte quitada AE Paso 3 es a la parte quitada CF Paso 4, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{C}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{C}\mathrm{F}}}$. Digo que la parte restante EB será también a la parte restante FD como el total AB es al total CD, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{C}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{B}}{\mathrm{F}\mathrm{D}}}$.

Pues, dado que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{C}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{C}\mathrm{F}}}$, también, por alternancia, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{E}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{D}}{\mathrm{C}\mathrm{F}}}$ [Prop. V.16]. Y puesto que son magnitudes proporcionales por composición, también por separación serán proporcionales [Prop. V.17] es decir ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{E}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{D}}{\mathrm{C}\mathrm{F}}}$; y, por alternancia, ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{B}}{\mathrm{F}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{C}\mathrm{F}}}$ [Prop. V.16]. Pero, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{C}\mathrm{F}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{C}\mathrm{D}}}$. Luego ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{B}}{\mathrm{F}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{C}\mathrm{D}}}$ [Prop. V.11].

Q. E. D.

A partir de esto queda claro que si unas magnitudes son proporcionales por composición, también por conversión serán proporcionales.

Y puesto que se ha demostrado que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{C}\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{B}}{\mathrm{F}\mathrm{D}}}$, también por alternancia, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{E}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{D}}{\mathrm{F}\mathrm{D}}}$, luego son magnitudes proporcionales por composición; pero se ha demostrado que ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{A}}{\mathrm{A}\mathrm{E}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{C}}{\mathrm{C}\mathrm{F}}}$; y esto es por conversión.