Las magnitudes que guardan con una misma magnitud la misma razón son iguales entre sí; y aquellas con las que una misma magnitud guarda la misma razón, son iguales.

Sea \(\rm\dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{C}\). Digo que A = B.

Supongamos A ≠ B, si A < B, entonces \(\rm\dfrac{A}{C}<\dfrac{B}{C}\) [Prop. V.8], lo que es absurdo; de igual forma si A > B, entonces \(\rm\dfrac{A}{C}>\dfrac{B}{C}\) [Prop. V.8], lo que es absurdo. Por tanto A=B.

Sea \(\rm\dfrac{C}{A}=\dfrac{C}{B}\). Digo que A = B.

De la misma forma se demuestra que si A < B, entonces \(\rm\dfrac{C}{A}>\dfrac{C}{B}\) [Prop. V.8], lo que es absurdo; de igual forma si A > B, entonces \(\rm\dfrac{C}{A}<\dfrac{C}{B}\) [Prop. V.8], lo que es absurdo. Por tanto A=B.

Q. E. D.