Las magnitudes que guardan con una misma magnitud la misma razón son iguales entre sí; y aquellas con las que una misma magnitud guarda la misma razón, son iguales.

Sea ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}}{\mathrm{C}}}$. Digo que A = B.

Supongamos A ≠ B, si A < B, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{C}}}<{\displaystyle \frac{\mathrm{B}}{\mathrm{C}}}$ [Prop. V.8], lo que es absurdo; de igual forma si A > B, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{C}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{B}}{\mathrm{C}}}$ [Prop. V.8], lo que es absurdo. Por tanto A=B.

Sea ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}$. Digo que A = B.

De la misma forma se demuestra que si A < B, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{A}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}$ [Prop. V.8], lo que es absurdo; de igual forma si A > B, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{A}}}<{\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}$ [Prop. V.8], lo que es absurdo. Por tanto A=B.

Q. E. D.