Las partes guardan la misma razón entre sí que sus mismos múltiplos, tomados en el orden correspondiente.

Sea pues AB=nC Paso 1 el mismo múltiplo de C Paso 2 que DE=nF Paso 3 de F Paso 4. Digo que como ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{F}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{D}\mathrm{E}}}$.

Pues dado que AB es el mismo múltiplo de C que DE de F, entonces, cuantas magnitudes iguales a C hay en AB, otras tantas habrá iguales a F en DE. Divídase AB en las magnitudes AG, GH, HB iguales a C Paso 5, y DE en las magnitudes DK, KL, LE iguales a F Paso 6; entonces el número de las magnitudes AG, GH, HB será igual al número de las magnitudes DK, KL, LE. Y puesto que AG=GH=HB y DK=KL=LE, entonces, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{D}\mathrm{K}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{H}}{\mathrm{K}\mathrm{L}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{H}\mathrm{B}}{\mathrm{L}\mathrm{E}}}$ [Prop. V.7]. Por tanto, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{D}\mathrm{K}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{G}+\mathrm{G}\mathrm{H}+\mathrm{H}\mathrm{B}}{\mathrm{D}\mathrm{K}+\mathrm{K}\mathrm{L}+\mathrm{L}\mathrm{E}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{D}\mathrm{E}}}$ [Prop. V.12]. Ahora bien, AG = C, y DK = F; luego, ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{F}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{D}\mathrm{E}}}$.

Q. E. D.