Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón y su proporción es perturbada, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual; y si es menor, menor.

Sean A Paso 1, B Paso 2, C Paso 3 tres magnitudes y D Paso 4, E Paso 5, F Paso 6 otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón, y sea su proporción perturbada es decir que \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{E}{F}\), y \(\rm\dfrac{B}{C}=\dfrac{D}{E}\). Digo que según A ≷ C será D ≷ F.

Si fuese A > C, y B otra magnitud, entonces \(\rm\dfrac{A}{B}>\dfrac{C}{B}\) [Prop. V.8]. Pero \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{E}{F}\), y por inversión, \(\rm\dfrac{C}{B}=\dfrac{E}{D}\). Por tanto \(\rm\dfrac{E}{F}>\dfrac{E}{D}\) [Prop. V.13]. Pero F < D [Prop. V.10], por tanto D > F.

Si fuese A = C, también será D = F. Ya que A = C, y B otra magnitud; \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{B}\) [Prop. V.7]; así \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{E}{F}\) y \(\rm\dfrac{C}{B}=\dfrac{E}{D}\); luego \(\rm\dfrac{E}{F}=\dfrac{E}{D}\) [Prop. V.11]; por consiguiente D = F [Prop. V.9].

Si fuese A < C, también será D < F. Ya que A < C, será C > A, y por hipótesis, e invirtiendo \(\rm\dfrac{C}{B}=\dfrac{E}{D}\), \(\rm\dfrac{B}{A}=\dfrac{F}{E}\); y como C > A , será F > D por el caso primero, y D < F.

Q. E. D.