Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón y su proporción es perturbada, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual; y si es menor, menor.

Sean A Paso 1, B Paso 2, C Paso 3 tres magnitudes y D Paso 4, E Paso 5, F Paso 6 otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón, y sea su proporción perturbada es decir que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$, y ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{E}}}$. Digo que según A ≷ C será D ≷ F.

Si fuese A > C, y B otra magnitud, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}$ [Prop. V.8]. Pero ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$, y por inversión, ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{D}}}$. Por tanto ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{D}}}$ [Prop. V.13]. Pero F < D [Prop. V.10], por tanto D > F.

Si fuese A = C, también será D = F. Ya que A = C, y B otra magnitud; ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}$ [Prop. V.7]; así ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{D}}}$; luego ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{D}}}$ [Prop. V.11]; por consiguiente D = F [Prop. V.9].

Si fuese A < C, también será D < F. Ya que A < C, será C > A, y por hipótesis, e invirtiendo ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{D}}}$, ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}}{\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{E}}}$; y como C > A , será F > D por el caso primero, y D < F.

Q. E. D.