Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y una quinta guarda con la segunda la misma razón que la sexta con la cuarta, la primera y la quinta, tomadas juntas, guardarán también la misma razón con la segunda que la tercera y la sexta con la cuarta.

Sea pues ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$ Paso 4, y ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{G}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{H}}{\mathrm{F}}}$ Paso 6. Digo que, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}+\mathrm{B}\mathrm{G}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}+\mathrm{E}\mathrm{H}}{\mathrm{F}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{H}}{\mathrm{F}}}$.

Dado que ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{G}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{H}}{\mathrm{F}}}$, entonces, por inversión, ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{E}\mathrm{H}}}$. Puesto que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$, y, ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{E}\mathrm{H}}}$, entonces, por igualdad, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{H}}}$ [Prop. V.22]. Ahora bien, puesto que las magnitudes son proporcionales por separación, también serán proporcionales por composición [Prop. V.18]; luego, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{G}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{H}}{\mathrm{H}\mathrm{E}}}$. Pero, ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{G}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{H}}{\mathrm{F}}}$; luego, por igualdad, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{H}}{\mathrm{F}}}$ [Prop. V.22].

Q. E. D.