Las razones que son iguales a una misma razón son también iguales entre sí.

Pues, como ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}$ Paso 4, y, como ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$ Paso 6. Digo que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$.

Tómense los equimúltiplos G=mA Paso 7, H=mC Paso 8, K=mE Paso 9 de A, C, E y otros equimúltiplos, tomados al azar, L=nB Paso 10, M=nD Paso 11, N=nF Paso 12 de B, D, F. Y puesto que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}$, y se han tomado los equimúltiplos G, H de A, C, y otros equimúltiplos, tomados al azar, L, M de B, D, entonces, según G ≷ L, será H ≷ M. Asimismo, puesto que ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$, y se han tomado los equimúltiplos H, K de C, E y otros equimúltiplos, tomados al azar, M, N de D, F, entonces, según H ≷ M, será K ≷ N. Pero según H ≷ M, será G ≷ L; de modo que, según G ≷ L, será K ≷ N. Ahora bien, G, K son equimúltiplos de A, E, y L, N otros equimúltiplos, tomados al azar, de B, F; por tanto, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$.

Q. E. D.