Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y la tercera guarda con la cuarta una razón mayor que una quinta con una sexta, la primera guardará también con la segunda una razón mayor que la quinta con la sexta.

Sea ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}$ Paso 4 y ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$ Paso 6. Digo que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$.

Ya que ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$, hay algunos equimúltiplos de C, E y otros equimúltiplos, tomados al azar, de D, F, tales que el múltiplo de C excede al múltiplo de D pero el múltiplo de E no excede al múltiplo de F [Def. V.7], tómense y sean G=nC Paso 7, H=nE Paso 8 equimúltiplos de C, E; y K=mD Paso 9, L=mF Paso 10 otros equimúltiplos al azar de D, F, de modo que G > K pero H ≯ L; y cuantas veces G sea múltiplo de C, tantas veces lo sea también M=nA Paso 11 de A, y cuantas veces sea múltiplo K de D, tantas veces lo sea también N=mB Paso 12de B. Y puesto que ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}$, y se han tomado los equimúltiplos M, G de A, C y otros equimúltiplos, tomados al azar, N, K de B, D, entonces, según M ≷ N, será G ≷ K [Def. V.5]. Pero G > K; luego M > N. Ahora bien, H ≯ L; y M, H son equimúltiplos de A, E, mientras que N, L son otros equimúltiplos, tomados al azar, de B, F; luego ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$ [Def. V.7].

Q. E. D.