Si hay un número cualquiera de magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, por igualdad guardarán también la misma razón.

Sean A, B, C Paso 1 un número cualquiera de magnitudes y D, E, F Paso 2 otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón es decir ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{E}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}}$. Digo que por igualdad ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{F}}}$.

Pues tómense los equimúltiplos G = mA, H=mD de A, D Paso 3 y otros equimúltiplos tomados al azar K=nB, L=nE de B, E Paso 4, y además otros equimúltiplos al azar M=pC, N=pF de C, F Paso 5. Y dado que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{E}}}$, y se han tomado los equimúltiplos G, H de A, D y otros equimúltiplos tomados al azar K, L de B, E, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{G}}{\mathrm{K}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{H}}{\mathrm{L}}}$ [Prop. V.4]. Por lo mismo, ${\displaystyle \frac{\mathrm{K}}{\mathrm{M}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{N}}}$. Así pues, dado que G, K, M son tres magnitudes y H, L, N otras magnitudes iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, entonces, por igualdad, según G ≷ M, será H ≷ N [Prop. V.20]. Ahora bien, G, H son equimúltiplos de A, D, y M, N otros equimúltiplos tomados al azar de C, F. Entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{F}}}$ [Def. V.5].

Q. E. D.