Si hay un número cualquiera de magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, por igualdad guardarán también la misma razón.
Sean A, B, C un número cualquiera de magnitudes y D, E, F otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón es decir \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{D}{E}\) y \(\rm\dfrac{B}{C}=\dfrac{E}{F}\).
Digo que por igualdad \(\rm\dfrac{A}{C}=\dfrac{D}{F}\).
Pues tómense los equimúltiplos G = mA, H=mD de A, D y otros equimúltiplos tomados al azar K=nB, L=nE de B, E , y además otros equimúltiplos al azar M=pC, N=pF de C, F .
Y dado que \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{D}{E}\), y se han tomado los equimúltiplos G, H de A, D y otros equimúltiplos tomados al azar K, L de B, E, entonces
\(\rm\dfrac{G}{K}=\dfrac{H}{L}\) [Prop. V.4]. Por lo mismo, \(\rm\dfrac{K}{M}=\dfrac{L}{N}\). Así pues, dado que G, K, M son tres magnitudes y H, L, N otras magnitudes iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, entonces, por igualdad, según G ≷ M, será H ≷ N [Prop. V.20]. Ahora bien, G, H son equimúltiplos de A, D, y M, N otros equimúltiplos tomados al azar de C, F. Entonces \(\rm\dfrac{A}{C}=\dfrac{D}{F}\) [Def. V.5].
Q. E. D.