Si una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera guardarán la misma razón con cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta respectivamente, tomados en el orden correspondiente.

Sea pues ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}$ Paso 1, y tómense los equimúltiplos E=mA Paso 2, F=mC Paso 3 de A,C, y otros equimúltiplos G=nB Paso 4, H=nD Paso 5 de B,D. Digo que ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{H}}}$.

Pues tómense los equimúltiplos K=pE Paso 6, L=pF Paso 7 de E,F, y otros equimúltiplos, M=qG Paso 8, N=qH Paso 9 de G, H, todos ellos tomados al azar. Dado que E=mA y F=mC, y K=pE, L=pF, entonces K=pmA, L=pmC [Prop. V.3]. Por lo mismo M=qnB, N=qnD. Puesto que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}$, según sea K ≷ M, será L≷ N [Def. V.5]. Ahora bien, K=pE, L=pF son equimúltiplos de E, F, y M=qG, N=qH otros equimúltiplos de G, H, todos ellos tomados al azar; por tanto ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{H}}}$ [Def. V.5].

Q. E. D.