De las magnitudes que guardan razón con una misma magnitud, la que guarda una razón mayor, es mayor. Y aquella con la que la misma magnitud guarda una razón mayor, es menor.

Sea ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{C}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{B}}{\mathrm{C}}}$. Digo que A > B.

Pues, si no, o A = B o A < B. Ahora bien, si A = B, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}}{\mathrm{C}}}$ [Prop. V.7]; lo que no ocurre; luego A ≠ B. Ahora bien, si A < B, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{C}}}<{\displaystyle \frac{\mathrm{B}}{\mathrm{C}}}$ [Prop. V.8]; lo que no ocurre; luego A ≮ B. Por tanto A > B.

Sea ahora ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{A}}}$. Digo que B < A.

Pues, si no, o B = A o B > A. Ahora bien, si B = A, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{A}}}$ [Prop. V.7]; lo que no ocurre; luego B ≠ A. Ahora bien, si B > A entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}<{\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{A}}}$ [Prop. V.8]; lo que no ocurre; luego B ≯ A. Por tanto B < A.

Q. E. D.