De las magnitudes que guardan razón con una misma magnitud, la que guarda una razón mayor, es mayor. Y aquella con la que la misma magnitud guarda una razón mayor, es menor.

Sea \(\rm\dfrac{A}{C} > \dfrac{B}{C}\). Digo que A > B.

Pues, si no, o A = B o A < B. Ahora bien, si A = B, entonces \(\rm\dfrac{A}{C} = \dfrac{B}{C}\) [Prop. V.7]; lo que no ocurre; luego A ≠ B. Ahora bien, si A < B, entonces \(\rm\dfrac{A}{C} < \dfrac{B}{C}\) [Prop. V.8]; lo que no ocurre; luego A ≮ B. Por tanto A > B.

Sea ahora \(\rm\dfrac{C}{B} > \dfrac{C}{A}\). Digo que B < A.

Pues, si no, o B = A o B > A. Ahora bien, si B = A, entonces \(\rm\dfrac{C}{B} = \dfrac{C}{A}\) [Prop. V.7]; lo que no ocurre; luego B ≠ A. Ahora bien, si B > A entonces \(\rm\dfrac{C}{B} < \dfrac{C}{A}\) [Prop. V.8]; lo que no ocurre; luego B ≯ A. Por tanto B < A.

Q. E. D.