Si unas magnitudes son proporcionales por separación, también por composición serán proporcionales.
Sean AE , EB , CF, FD magnitudes proporcionales por separación, de modo que \(\rm\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{CF}{FD}\).
Digo que también por composición serán proporcionales, de modo que \(\rm\dfrac{AE+EB}{EB}=\dfrac{CF+FD}{FD}\).
Tomemos cualesquiera equimútiplos GH=m(AE+EB), KH=mBE, LM=m(CF+FD) y NM=mFD y otros cualesquiera equimútiplos KO=nBE y NP=nFD .
Claramente, según sea nBE≷mBE será nFD≷mFD.
En primer lugar si KO=nEB ≦ mEB=KH entonces NP=nFD ≦ mFD=NM. Ahora bien,
EB < AE+EB, luego mEB < m(AE+EB); pero nEB ≦ mEB, luego nEB < m(AE+EB).
Análogamente se demuestra que nFD < m(CF+FD).
Ahora supongamos que KO=nEB > mEB=KH, por tanto NP=nFD > mFD=NM . Ya que
GH=m(AE+EB), KH=mEB, LM=m(CF+FD), NM=mFD son equimúltiplos de AE+EB, EB, CF+FD, FD, entonces mEB es el mismo múltiplo de EB que m(AE+EB) de AE+EB, y mFD es el mismo múltiplo de FD que m(CF+FD) es de CF+FD, luego mAE, mCF son equimúltiplos de AE, CF [Prop. V.5]. Ahora bien nEB, nFD son equimúltiplos de EB, FD y como también lo son mEB, mFD, entonces (n-m)EB, (n-m)FD son equimúltiplos de EB, FD, luego (n-m) es igual a la unidad o a cualquier otro entero [Prop. V.6].
En primer lugar, sean (n-m)EB=EB,
(n-m)FD=FD. Ya que \(\rm\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{CF}{FD}\), y mAE, mCF equimúltiplos de AE,
CF, será \(\rm\dfrac{mAE}{EB}=\dfrac{mCF}{FD}\); y como (n-m)EB = EB , y (n-m)FD=FD, entonces
\(\rm\dfrac{mAE}{(n-m)EB}=\dfrac{mCF}{(n-m)FD}\), luego
según sea mAE ≷(n-m)EB, será mCF ≷ (n-m)FD.
Supongamos ahora, que (n-m)EB, (n-m)FD sean equimúltiplos de EB,FD;
y siendo \(\rm\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{CF}{FD}\), y tomadas mAE, mCF equimúltiplos de AE , CF ,
como asimismo (n-m)EB , (n-m)FD otros equimúltiplos de EB , FD ; según sea mAE ≷ (n-m)EB , será mCF ≷ (n-m)FD; lo qual
se demostró también en el caso anterior : luego si m(AE+EB) > nEB , quitada la parte común mEB, será mAE > (n-m)EB ;
por
tanto mCF > (n-m)FD ; y añadiendo a éstas mFD , será m(CF+FD) > nFD : luego
si m(AE+EB) > nEB , también m(CF+FD) > nFD : análogamente se demostrará , que si m(AE+EB) ⋜ nEB,
también m(CF+FD) ⋜ nFD:
y en el caso de ser nEB < mEB, ya
se demostró, que m(AE+EB) > nEB; y al mismo tiempo m(CF+FD) > nFD.
Es así que m(AE+EB), m(CF+FD) son cualesquiera equimúltiplos de AE+EB, CF+FD
y nEB , nFD otros cualesquiera equimúltiplos de EB, FD: luego
\(\rm \dfrac{AE+EB}{EB}=\dfrac{CF+FD}{FD}\).
Q. E. D.