Si unas magnitudes son proporcionales por separación, también por composición serán proporcionales.

Sean AE Paso 1, EB Paso 2, CFPaso 3, FD Paso 4 magnitudes proporcionales por separación, de modo que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{F}\mathrm{D}}}$. Digo que también por composición serán proporcionales, de modo que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{E}+\mathrm{E}\mathrm{B}}{\mathrm{E}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{F}+\mathrm{F}\mathrm{D}}{\mathrm{F}\mathrm{D}}}$.

Tomemos cualesquiera equimútiplos GH=m(AE+EB), KH=mBE, LM=m(CF+FD) y NM=mFD Paso 5 y otros cualesquiera equimútiplos KO=nBE y NP=nFD Paso 6.

Claramente, según sea nBE≷mBE será nFD≷mFD.

En primer lugar si KO=nEB ≦ mEB=KH entonces NP=nFD ≦ mFD=NM. Ahora bien, EB < AE+EB, luego mEB < m(AE+EB); pero nEB ≦ mEB, luego nEB < m(AE+EB). Análogamente se demuestra que nFD < m(CF+FD).

Ahora supongamos que KO=nEB > mEB=KH, por tanto NP=nFD > mFD=NM Paso 7. Ya que GH=m(AE+EB), KH=mEB, LM=m(CF+FD), NM=mFD son equimúltiplos de AE+EB, EB, CF+FD, FD, entonces mEB es el mismo múltiplo de EB que m(AE+EB) de AE+EB, y mFD es el mismo múltiplo de FD que m(CF+FD) es de CF+FD, luego mAE, mCF son equimúltiplos de AE, CF [Prop. V.5]. Ahora bien nEB, nFD son equimúltiplos de EB, FD y como también lo son mEB, mFD, entonces (n-m)EB, (n-m)FD son equimúltiplos de EB, FD, luego (n-m) es igual a la unidad o a cualquier otro entero [Prop. V.6].

En primer lugar, sean (n-m)EB=EB, (n-m)FD=FD. Ya que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{F}\mathrm{D}}}$, y mAE, mCF equimúltiplos de AE, CF, será ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{m}\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{F}\mathrm{D}}}$; y como (n-m)EB = EB , y (n-m)FD=FD, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}\mathrm{A}\mathrm{E}}{(\mathrm{n}-\mathrm{m})\mathrm{E}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{m}\mathrm{C}\mathrm{F}}{(\mathrm{n}-\mathrm{m})\mathrm{F}\mathrm{D}}}$, luego según sea mAE ≷(n-m)EB, será mCF ≷ (n-m)FD.

Supongamos ahora, que (n-m)EB, (n-m)FD sean equimúltiplos de EB,FD; y siendo ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{F}\mathrm{D}}}$, y tomadas mAE, mCF equimúltiplos de AE , CF , como asimismo (n-m)EB , (n-m)FD otros equimúltiplos de EB , FD ; según sea mAE ≷ (n-m)EB , será mCF ≷ (n-m)FD; lo qual se demostró también en el caso anterior : luego si m(AE+EB) > nEB , quitada la parte común mEB, será mAE > (n-m)EB ; por tanto mCF > (n-m)FD ; y añadiendo a éstas mFD , será m(CF+FD) > nFD : luego si m(AE+EB) > nEB , también m(CF+FD) > nFD : análogamente se demostrará , que si m(AE+EB) ⋜ nEB, también m(CF+FD) ⋜ nFD: y en el caso de ser nEB < mEB, ya se demostró, que m(AE+EB) > nEB; y al mismo tiempo m(CF+FD) > nFD.

Es así que m(AE+EB), m(CF+FD) son cualesquiera equimúltiplos de AE+EB, CF+FD y nEB , nFD otros cualesquiera equimúltiplos de EB, FD: luego ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{E}+\mathrm{E}\mathrm{B}}{\mathrm{E}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{F}+\mathrm{F}\mathrm{D}}{\mathrm{F}\mathrm{D}}}$.

Q. E. D.