Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y su proporción es perturbada, por igualdad guardarán también la misma razón.
Sean A, B, C tres magnitudes y D, E, F otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón y sea su proporción perturbada, es decir que \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{E}{F}\) y \(\rm\dfrac{B}{C}=\dfrac{D}{E}\).
Digo que \(\rm\dfrac{A}{C}=\dfrac{D}{F}\).
Tómense los equimúltiplos G=mA, H=mB, K=mD de A, B, D y otros equimúltiplos tomados al azar L=nC, M=nE, N=nF de C, E, F .
Y dado que G, H son equimúltiplos de A, B y las partes guardan la misma razón que sus mismos múltiplos [Prop. V.15], entonces \(\rm \dfrac{A}{B}=\dfrac{G}{H}\). Por la misma razón, \(\rm \dfrac{E}{F}=\dfrac{M}{N}\); ahora bien, \(\rm \dfrac{A}{B}=\dfrac{E}{F}\); entonces \(\rm \dfrac{G}{H}=\dfrac{M}{N}\) [Prop. V.11]. Y dado que, como \(\rm \dfrac{B}{C}=\dfrac{D}{E}\), también, por alternancia, \(\rm\dfrac{B}{D}=\dfrac{C}{E}\) [Prop. V.16]. Y puesto que H, K son equimúltiplos de B, D, y las partes guardan la misma razón que sus equimúltiplos, entonces \(\rm\dfrac{B}{D}=\dfrac{H}{K}\) [Prop. V.15]. Ahora bien, \(\rm\dfrac{B}{D}=\dfrac{C}{E}\); luego también \(\rm\dfrac{H}{K}=\dfrac{C}{E}\) [Prop. V.11].
A su vez, dado que L, M son equimúltiplos de C, E, entonces, \(\rm\dfrac{C}{E}=\dfrac{L}{M}\) [Prop. V.15]. Ahora bien, \(\rm\dfrac{H}{K}=\dfrac{C}{E}\); luego también \(\rm\dfrac{H}{K}=\dfrac{L}{M}\) [Prop. V.11]; y, por alternancia, \(\rm\dfrac{H}{L}=\dfrac{K}{M}\) [Prop. V.16]. Pero se ha demostrado también que \(\rm \dfrac{G}{H}=\dfrac{M}{N}\).
Así pues, dado que G, H, L son tres magnitudes y K, M, N otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y su proporción es perturbada, entonces, por igualdad, según sea G ≷ L, será K ≷ N [Prop. V.21]. Pero G, K son equimúltiplos de A, D, y L, N de C, F. Por tanto, \(\rm \dfrac{A}{C}=\dfrac{D}{F}\).
Q. E. D.