Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta y la primera es mayor que la tercera, la segunda será también mayor que la cuarta, y si es igual, será igual, y si menor, menor.

Sea pues ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}$, y sea A ⋛ C. Digo que también B ⋛ D.

Pues como A > C y B es otra magnitud, tomada al azar, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}$ [Prop. V.8]. Pero ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}$; entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}$ [Prop. V.13]. Así pues, D < B [Prop. V.10]; de modo que B > D.

Supongamos ahora que A=C. Entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}$ [Prop. V.7], y como ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}$, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}$ [Prop. V.11]. Así, D=B [Prop. V.9].

Finalmente, supongamos que A < C, entonces C > A, luego ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}$ [Prop. V.8]. Pero ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}$; entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}}$ [Prop. V.13]. Así pues, B < D [Prop. V.10].

Q. E. D.