Aplicar a una recta dada un paralelogramo igual a una figura rectilínea dada y que exceda en una figura paralelograma semejante a una dada.

Sea AB la recta dada Paso 1, C la figura rectilínea dada igual al paralelogramo que hay que aplicar a AB Paso 2 y D la figura semejante al paralelogramo en que es necesario que exceda Paso 3.

Así pues, hay que aplicar a la recta AB un paralelogramo igual a la figura rectilínea C y que exceda en una figura paralelograma semejante a D. Divídase AB en dos partes iguales por el punto E Paso 4 y constrúyase a partir de EB el paralelogramo BF semejante y situado de manera semejante a D Paso 5, y constrúyase GH igual a ambos BF, C y al mismo tiempo semejante y situado de manera semejante a D [Prop. VI.25]Paso 6. Y sea KH correspondiente a FL, y KG a FE. Y puesto que GH es mayor que FB, entonces KH es también mayor que FL y KG que FE. Prolongúense FL, FE, y sea FLM igual a KH Paso 7 y FEN igual a KG Paso 8, y complétese MN Paso 9; entonces MN es igual y semejante a GH. Pero GH es semejante a EL; luego MN es semejante también a EL [Prop. VI.21]; luego EL está en torno a la misma diagonal que MN. Trácese su diagonal FO Paso 10, y constrúyase la figura. Puesto que GH es igual a EL, C, mientras que GH es igual a MN, entonces MN es también igual a EL, C. Quítese de ambas EL; entonces el gnomon restante XWV es igual a C. Y puesto que AE es igual a EB, AN también es igual a NB [Prop. I.36]Paso 11, es decir, a LP [Prop. I.43]. Añádase a ambos EO; entonces el paralelogramo entero AO es igual al gnomon VWX. Pero el gnomon VWX es igual a C. Por tanto AO es igual a C.

Por consiguiente, se ha aplicado a la recta AB un paralelogramo AO igual a la figura rectilínea dada C y que excede en la figura paralelograma QP que es semejante a D, puesto que PQ es semejante a EL [Prop. VI.24].

Q. E. F.