Dividir una recta dada no dividida de manera semejante a una recta dada ya dividida.
Sea AB la recta dada no dividida y AC la dividida en los puntos D, E , y coloqúense de modo que comprendan un ángulo cualquiera y trácese CB , y, por los puntos D, E, trácense DF, EG paralelas a BC , y, por el punto D, trácese ALK paralela a AB [Prop. I.31].
Entonces, cada una de las figuras FH, HB es un paralelogramo; por tanto DH es igual a FG y HK a GB [Prop. I.34]. Ahora bien, como se ha trazado la recta HE paralela a uno de los lados, KC, del triángulo DKC, entonces, proporcionalmente, como CE es a ED, así KH a HD [Prop. VI.2]. Pero KH es igual a BG y HD a GF. Luego como CE es a ED, así BG a GF. Como a su vez se ha trazado la recta FD paralela a uno de los lados GE del triángulo AGE, entonces, proporcionalmente, como ED es a DA, así GF a FA [Prop. VI.2]. Pero se ha demostrado que también como CE es a ED, así BG a GF. Por tanto, como CE es a ED, así BG a GF, y como ED es a DA, así GF a FA.
Por consiguiente, se ha dividido la recta dada no dividida AB de manera semejante a la recta dada ya dividida AC.
Q. E. F.