Si dos triángulos que tienen dos lados de uno proporcionales a dos lados del otro se construyen unidos por un ángulo de modo que sus lados correspondientes sean paralelos, los restantes lados de los triángulos estarán en línea recta.
Sean ABC , DCE dos triángulos que tienen los dos lados BA, AC proporcionales a los dos lados DC, DE es decir como AB es a AC, así DC a DE, y AB paralela a DC y AC a DE.
Digo que BC está en línea recta con CE.
Pues como AB es paralela a DC, y la recta AC ha incidido sobre ellas, los ángulos altemos BAC, ACD son iguales entre sí [Prop. I.29]. Por lo mismo el ángulo CDE es también igual al ángulo ACD. De modo que también el ángulo BAC es igual al ángulo CDE. Y puesto que ABC, DCE, son dos triángulos que tienen un ángulo, el correspondiente a A, igual a un ángulo, el correspondiente a D, y los lados que comprenden los ángulos iguales, proporcionales es decir que como BA es a AC, así CD a DE, entonces el triángulo ABC y el triángulo DCE son equiángulos [Prop. VI.6]. Por tanto el ángulo ABC es igual al ángulo DCE. Pero se ha demostrado que el ángulo ACD es también igual al ángulo BAC; luego el ángulo entero ACE es igual a los dos ángulos ABC, BAC. Añádase a ambos el ángulo ACB; entonces los ángulos ACE, ACB son iguales a los ángulos BAC, ACB, CBA. Pero los ángulos BAC, ABC, ACB son iguales a dos rectos [Prop. I.32]; luego los ángulos ACE, ACB son también iguales a dos rectos. Por tanto, las dos rectas BC, CE que no están en el mismo lado forman con una recta AC y en su punto C los ángulos adyacentes ACE, ACB iguales a dos rectos; por tanto BC está en línea recta con CE [Prop. I.14].
Por consiguiente, si dos triángulos que tienen dos lados de uno proporcionales a dos lados del otro se construyen unidos por un ángulo de modo que sus lados correspondientes sean paralelos, los restantes lados de los triángulos estarán en línea recta.
Q. E. D.