Si tres rectas son proporcionales, el rectángulo comprendido por las extremas es igual al cuadrado de la media; y si el rectángulo comprendido por las extremas es igual al cuadrado de la media, las tres rectas serán proporcionales.
Sean A, B, C tres rectas proporcionales , a saber: como A es a B, así B a C.
Digo que el rectángulo comprendido por A, C es igual al cuadrado de B.
Hágase D igual a B .
Y dado que A es a B como B es a C, y B es igual a D, entonces, como A es a B, así D es a C. Pero, si cuatro rectas son proporcionales, el rectángulo comprendido por las extremas es igual al rectángulo comprendido por las medias [Prop. VI.16]. Entonces, el rectángulo comprendido por A, C es igual al rectángulo comprendido por B, D. Pero el rectángulo comprendido por B, D es el cuadrado de B : porque B es igual a D; por tanto el rectángulo comprendido por A, C es igual al cuadrado de B.
Pero ahora el rectángulo comprendido por A, C sea igual al cuadrado de B.
Digo que como A es a B, así B a C.
Pues, siguiendo la misma construcción, dado que el rectángulo comprendido por A, C es igual al cuadrado de B, mientras que el cuadrado de B es el rectángulo comprendido por B, D: porque B es igual a D; entonces el rectángulo comprendido por A, C es igual al rectángulo comprendido por B, D. Pero si el rectángulo comprendido por las extremas es igual al rectángulo comprendido por las medias, las cuatro rectas son proporcionales [Prop. VI.16]. Entonces, como A es a B, así D a C. Pero B es igual a D; luego, como A es a B así B a C.
Por consiguiente, si tres rectas son proporcionales, el rectángulo comprendido por las extremas es igual al cuadrado de la media; y si el rectángulo comprendido por las extremas es igual al cuadrado de la media, las tres rectas serán proporcionales.
Q. E. D.