Construir una misma figura semejante a una figura rectilínea dada, e igual a otra figura dada.

Sea ABC la figura rectilínea dada a la que debe ser semejante la figura que hay que construir y D la figura a la que debe ser igual. Así pues, hay que construir una misma figura semejante a ABC e igual a D.

Apliqúese, pues, al lado BC el paralelogramo BE igual al triángulo ABC [Prop. I.44], y a CE el paralelogramo CM igual a D en el ángulo FCE que es igual al ángulo CBL [Prop. I.45]. Entonces BC está en línea recta con CF, y DE con EM. Y tómese la media proporcional GH a las rectas BC, CF [Prop. VI.13], y constrúyase a partir de GH la figura KGH semejante y situada de manera semejante a ABC [Prop. VI.18]. Puesto que como BC es a GH, así GH a CF, si tres rectas son proporcionales, como la primera es a la tercera, así la figura construida a partir de la primera a la figura semejante y construida de manera semejante a partir de la segunda [Cor. Prop. VI.19], entonces, como BC es a CF, así el triángulo ABC al triángulo KGH. Pero también, como BC es a CF, así el paralelogramo BE al paralelogramo EF [Prop. VI.1]. Entonces también, como el triángulo ABC es al triángulo KGH, así el paralelogramo BE al paralelogramo EF. Así pues, por alternancia, como el triángulo ABC es al paralelogramo BE, así el triángulo KGH es al paralelogramo EF [Prop. V.16]. Pero el triángulo ABC es igual al paralelogramo BE; entonces el triángulo KGH es igual al paralelogramo EF. Pero el paralelogramo EF es igual a D. Entonces el triángulo KGH es también igual a D. Y el triángulo KGH es también semejante al triángulo ABC.

Por consiguiente, se ha construido una misma figura semejante a la figura rectilínea dada ABC e igual a otra figura dada D.

Q. E. F.