Si dos triángulos tienen los lados proporcionales, los triángulos serán equiángulos y tendrán iguales los ángulos a los que subtienden los lados correspondientes.
Sean ABC , DEF dos triángulos que tienen los lados proporcionales, es decir que como AB es a BC, así DE a EF, y como BC es a CA, así EF a FD, y, además, como BA es a AC, así ED a DF.
Digo que el triángulo ABC y el triángulo DEF son equiángulos y tendrán iguales los ángulos a los que subtienden los lados correspondientes, a saber: el ángulo DBC al ángulo DEF, el ángulo BCA al ángulo EFD y además el ángulo BAC al ángulo EDF.
Pues constrúyase en la recta EF y en sus puntos E, F, el ángulo FEG igual al ángulo ABC [Prop. I.23]; entonces el ángulo restante correspondiente a A es igual al ángulo restante correspondiente a G [Prop. I.32].
Por tanto el triángulo ABC y el triángulo EGF son equiángulos . Luego en los triángulos ABC, EGF los lados que comprenden los ángulos iguales son proporcionales, y los lados que subtienden los ángulos iguales son correspondientes [Prop. VI.4]; entonces como AB es a BC, GE es a EF. Ahora bien, se ha supuesto que como AB es a BC, así DE es a EF; por tanto, como DE es a EF, así GF a EF [Prop. V.11]. Así pues, cada una de las rectas DE, GE guarda la misma razón con EF; por tanto DE es igual a GE [Prop. V.9]. Por la misma razón, DF es también igual a GF. Así pues, dado que DE es igual a EG y EF es común, los dos lados DE, EF son iguales a los dos lados GE, EF; y la base DF es igual a la base FG; entonces el ángulo DEF es igual al ángulo GEF [Prop. I.8], y el triángulo DEF igual al triángulo GEF, y los ángulos restantes iguales a los ángulos restantes, aquellos a los que subtienden los lados iguales [Prop. I.4]. Por tanto el ángulo DFE es también igual al ángulo GFE, y el ángulo EDF al ángulo EGF. Y, dado que el ángulo FED es igual al ángulo GEF, y el ángulo GEF es igual al ángulo ABC, entonces el ángulo ABC es también igual al ángulo DEF. Por la misma razón el ángulo ACB es también igual al ángulo DFE, y además el ángulo correspondiente a A es igual al ángulo correspondiente a D; por tanto el triángulo ABC y el triángulo DEF son equiángulos.
Por consiguiente, si dos triángulos tienen los lados proporcionales, los triángulos serán equiángulos y tendrán iguales los ángulos a los que subtienden los lados correspondientes.
Q. E. D.