Aplicar a una recta dada un paralelogramo igual a una figura rectilínea dada deficiente en una figura paralelograma semejante a una dada; pero es necesario que la figura rectilínea dada no sea mayor que el paralelogramo construido a partir de la mitad y semejante al defecto.

Sea AB la recta dada Paso 1 y C la figura rectilínea dada Paso 2 a la que debe ser igual la figura que hay que aplicar a la recta AB, sin que sea mayor que el paralelogramo construido a partir de la mitad de AB y semejante al defecto; y sea D el paralelogramo al que ha de ser semejante el defecto.

Así pues, hay que aplicar a la recta dada AB un paralelogramo igual a la figura rectilínea dada C deficiente en la figura paralelograma que es semejante a D Paso 3. Divídase AB en dos partes iguales por el punto E Paso 4, y constrúyase a partir de EB el paralelogramo EBFG semejante y situado de manera semejante a D [Prop. VI.18]Paso 5, y complétese el paralelogramo AG Paso 6. Si en efecto el paralelogramo AG es igual a C, se habría hecho lo propuesto; pues ha sido aplicado a la recta dada AB un paralelogramo igual a la figura dada C, deficiente en la figura paralelograma GB que es semejante a D. Y si no, sea HE mayor que C. Y HE es igual a GB; entonces GB es también mayor que C. Constrúyase entonces KLMN igual al exceso por el que GB es mayor que C y semejante y situada de manera semejante a D [Prop. VI.25]Paso 7. Pero D es semejante a GB; entonces KM es también semejante a GB [Prop. VI.21]. Sea KL correspondiente a GE y LM a GF. Ahora bien, como GB es igual a C, KM, entonces GB es mayor que KM; luego GE es también mayor que KL, y GF mayor que LM. Hágase GO igual a KL y GP a LM, y complétese el paralelogramo OGPQ Paso 8; entonces es igual y semejante a KM. Luego GQ es también semejante a GB [Prop. VI.21]; por tanto GQ está en torno a la misma diagonal que GB [Prop. VI.26]. Sea su diagonal GQB y constrúyase la figura Paso 9. Pues bien, dado que BG es igual a C, KM y en ellas GQ es igual a KM, entonces el gnomon restante UWV es igual a la figura restante C. Y, puesto que PR es igual a OS, añádase a ambos QB; entonces el paralelogramo entero PB es igual al paralelogramo entero OB. Pero OB es igual a TE, porque el lado AE es también igual a EB [Prop. I.36]; entonces TE es también igual a PB. Añádase a ambos OS; entonces el paralelogramo entero TS es igual al gnomon entero VWU. Pero se ha demostrado que el gnomon VWU es igual a C; por tanto TS es igual a C.

Por consiguiente se ha aplicado a la recta dada AB un paralelogramo TS igual a la figura rectilínea dada C, deficiente en la figura paralelograma QB que es semejante a D.

Q. E. F.