Los polígonos semejantes se dividen en triángulos semejantes e iguales en número y homólogos a los polígonos enteros y un polígono guarda con el otro una razón duplicada de la que guarda el lado correspondiente con el lado correspondiente.

Sean ABCDE Paso 1, FGHKL Paso 2 polígonos semejantes, y sea AB correspondiente a FG. Digo que los polígonos ABCDE, FGHKL se dividen en triángulos semejantes e iguales en número y homólogos a los polígonos enteros; y el polígono ABCDE guarda con el polígono FGHKL una razón duplicada de la que guarda AB con FG.

Trácense BE, EC Paso 3, GL, LH Paso 4. Y puesto que el polígono ABCDE es semejante al polígono FGHKL, el ángulo BAE es igual al ángulo GFL Paso 5. Y, como BA es a AE, así GF a FL [Def. VI.1]. Así pues, dado que ABE, FGL son dos triángulos que tienen un ángulo de uno igual a un ángulo del otro, y los lados que comprenden los ángulos iguales, proporcionales, entonces el triángulo ABE y el triángulo FGL son equiángulos [Prop. VI.6]; de modo que también son semejantes [Prop. VI.4 y Def. VI.1]. Por tanto el ángulo ABE es igual al ángulo FGL Paso 6. Pero el ánguio entero ABC es también igual al ángulo entero FGH por la semejanza de los polígonos; luego el ángulo restante EBC es igual al ángulo LGH Paso 7. Ahora bien, puesto que, por la semejanza de los triángulos ABE, FGL, como EB es a BA, así LG a GF, mientras que también por la semejanza de los polígonos, como AB es a BC, así FG a GH, entonces, por igualdad, como EB es a BC, así LG a GH [Prop. V.22], y los lados que comprenden los ángulos iguales EBC, LGH son proporcionales; por tanto, el triángulo EBC y el triángulo LGH son equiángulos [Prop. VI.6]; de modo que el triángulo EBC es semejante al triángulo LGH [Prop. VI.4 y Def. VI.1]. Por lo mismo el triángulo ECD es semejante al triángulo LHK. Entonces los polígonos semejantes ABCDE, FGHKL se han dividido en triángulos semejantes e iguales en número. Digo que también son homólogos a los polígonos enteros, es decir, de tal manera que los triángulos son proporcionales, y los antecedentes son ABE, EBC, ECD, y sus consecuentes FGL, LGH, LHK y digo que el polígono ABCDE guarda con el polígono FGHKL una razón duplicada de la que guarda el lado correspondiente con el lado correspondiente, es decir, AB con FG. Trácense, pues, AC, FH. Y puesto que, por la semejanza de los polígonos el ángulo ABC es igual al ángulo FGH, y, como AB es a BC, así FG a GH, el triángulo ABC y el triángulo FGH son equiángulos [Prop. VI.6]; entonces el ángulo BAC es igual al ángulo GFH, y el ángulo BCA al ángulo GHF. Y puesto que el ángulo BAM es igual al ángulo GFN, y el ángulo ABM es igual al ángulo FGN, entonces el ángulo restante AMB es igual al ángulo restante FNG [Prop. I.32]. Por tanto el triángulo ABM y el triángulo FGN son equiángulos. De manera semejante demostraríamos que el triángulo BMC y el triángulo GNH son equiángulos. Entonces, proporcionalmente, como AM es a MB, así FN a NG, mientras que como BM es a MC, así GN a NH; de modo que también, por igualdad, como AM es a MC, así FN a NH. Pero, como AM es a MC, así el triángulo ABM al triángulo MBC, y el triángulo AME al triángulo EMC: porque son entre sí como sus bases [Prop. VI.1]. Entonces, también, como uno de los antecedentes es a uno de los consecuentes, así todos los antecedentes a todos los consecuentes [Prop. V.12]; por tanto, como el triángulo AMB es al triángulo BMC, así el triángulo ABE al triángulo CBE. Ahora bien, como el triángulo AMB es al triángulo BMC, así AM a MC; luego también, como AM es a MC, así el triángulo ABE al triángulo EBC. Por lo mismo, además, como FN es a NH, así el triángulo FGL al triángulo GLH. Ahora bien, como AM es a MC, así FN a NH; entonces, también, como el triángulo ABE es al triángulo BEC, así el triángulo FGL al triángulo GLH, y, por alternancia, como el triángulo ABE es al triángulo FGL, así el triángulo BEC es al triángulo GLH. De manera semejante demostraríamos, una vez trazadas BD, GK, que también, como el triángulo BEC es al triángulo LGH, así el triángulo ECD al triángulo LHK. Y puesto que, como el triángulo ABE es al triángulo FGL, así el triángulo EBC al triángulo LGH y además el triángulo ECD al triángulo LHK, entonces, como uno de los antecedentes es a uno de los consecuentes, así todos los antecedentes a todos los consecuentes [Prop. V.12]. Por tanto, como el triángulo ABE es al triángulo FGL, así el polígono ABCDE es al polígono FGHKL. Pero el triángulo ABE guarda con el triángulo FGL una razón duplicada de la que el lado correspondiente AB guarda con el lado correspondiente FG: porque los triángulos semejantes guardan entre sí una razón duplicada de la de los lados correspondientes [Prop. VI.19]. Por tanto, el polígono ABCDE guarda con el polígono FGHKL una razón duplicada de la que guarda el lado correspondiente AB con el lado correspondiente FG.

Por consiguiente, los polígonos semejantes se dividen en triángulos semejantes e iguales en número y homólogos a los polígonos enteros y un polígono guarda con otro una razón duplicada de la que el lado correspondiente guarda con el lado correspondiente.

Q. E. D.

De manera semejante, en el caso de los cuadriláteros se demostraría también que guardan una razón duplicada de la de los lados correspondientes. Pero se ha demostrado que también en el caso de los triángulos; de modo que, en general, las figuras rectilíneas guardan entre sí una razón duplicada de la de sus lados correspondientes.

Y si tomamos la tercera proporcional O de los lados AB, FG, BA guardan con O una razón duplicada de la que guarda AB con FA. Pero un polígono guarda con otro polígono, o un cuadrilátero con otro cuadrilátero, una razón duplicada de la que guarda el lado correspondiente con el lado correspondiente, es decir, AB con FG; pero se ha demostrado esto también en el caso de los triángulos; de modo que, en general, queda claro que, si tres rectas son proporcionales, como la primera es a la tercera, así será la figura construida sobre la primera a la figura semejante construida de modo semejante sobre la segunda.