En todo paralelogramo, los paralelogramos situados en torno a su diagonal son semejantes al paralelogramo entero y entre sí.
Sea ABCD un paralelogramo , y su diagonal AC , y EG, HK los paralelogramos situados en torno a AC .
Digo que cada uno de los paralelogramos EG, HK es semejante al paralelogramo entero ABCD y al otro.
Pues como sé ha trazado EF paralela a uno de los lados BC del triángulo ABC, proporcionalmente, como BE es a EA, así CF a FA [Prop. VI.2]. Como se ha trazado a su vez FG paralela a uno de los lados CD del triángulo ACD, proporcionalmente, como CF es a FA, así DG a GA [VI, 2]. Pero se ha demostrado que, como CF es a FA, así también BE a EA; entonces, también, como BE es a EA, así DG a GA; entonces, por composición, como BA es a AE, así DA a AG [Prop. V.18] y, por alternancia, como BA es a AL, así EA a AG [Prop. V.16]. Así pues, en los paralelogramos ABCD, EG, los lados que comprenden el ángulo común BAD son proporcionales. Y puesto que GF es paralela a DC, el ángulo AFG es igual al ángulo DCA; y el ángulo DAC es común a los dos triángulos ADC, AGF; por tanto, los triángulos ADC y AGF son equiángulos. Por lo mismo, los triángulos ACB y AFE son también equiángulos, y el paralelogramo entero ABCD y el paralelogramo EG son equiángulos. Entonces, proporcionalmente, como AD es a DC, así AG a GF, mientras que como DC es a CA, así GF a FA, y, como AC es a CB, así AF a FE, y además, como CB es a BA, así FE a EA. Puesto que se ha demostrado también que, como DC es a CA, así GF a FA, mientras que, como AC es a CB, así AF a FE, entonces, por igualdad, como DC es a CB, así GF a FE [Prop. V.22]. Por tanto, en los paralelogramos ABCD, EG, los lados que comprenden los ángulos iguales son proporcionales. Luego el paralelogramo ABCD es semejante al paralelogramo EG [Def. VI.1]. Por lo mismo, el paralelogramo ABCD también es semejante al paralelogramo KH; entonces, cada uno de los paralelogramos EG, KH es semejante al paralelogramo ABCD. Pero las figuras semejantes a una misma figura rectilínea también son semejantes entre sí [Prop. VI.21]. Por tanto el paralelogramo EG es semejante al paralelogramo HK.
Por consiguiente, en todo paralelogramo, los paralelogramos situados en torno a la diagonal son semejantes al paralelogramo entero y entre sí.
Q. E. D.