Si se quita de un paralelogramo un paralelogramo semejante y situado de manera semejante al paralelogramo entero que tenga un ángulo común con él, está en torno a la misma diagonal que el paralelogramo entero.

Pues quítese del paralelogramo ABCD el paralelogramo AF semejante y situado de manera semejante a ABCD y que tenga el ángulo DAB común con él. Digo que ABCD está en torno a la misma diagonal que AF.

Pues supongamos que no, pero si es posible, sea la diagonal AHC, y prolongada GF llévese hasta H y trácese por el punto H, la recta HK paralela a una de las rectas AD, BC [Prop. I.31]. Dado que ABCD está en torno a la misma diagonal que KG, entonces, como DA es a AB, así GA a AK [Prop. VI.24]. Pero también, por semejanza de los paralelogramos ABCD y EG, como DA es a AB, así GA a AE; entonces también como GA es a AK, así GA a AE [Prop. V.11]. Así pues, GA guarda la misma razón con cada una de las rectas AK, AE. Por tanto AE es igual a AK [Prop. V.9], la menor a la mayor; lo cual es imposible. Luego no es el caso de que ABCD no esté en torno a la misma diagonal que AF; por tanto el paralelogramo ABCD está en torno a la misma diagonal que AF.

Por consiguiente, si se quita de un paralelogramo un paralelogramo semejante y situado de manera semejante al paralelogramo entero, que tenga un ángulo común con él, está en torno a la misma diagonal que el paralelogramo entero.

Q. E. D.