En los triángulos equiángulos, los lados que comprenden los ángulos iguales son proporcionales y los lados que subtienden los ángulos iguales son correspondientes.

Sean ABC Paso 1, DCE Paso 2 triángulos equiángulos con el ángulo ABC igual al ángulo DCE, y el ángulo BAC igual al CDE y además el ángulo ACB igual al ángulo CED. Digo que en los triángulos ABC, DCE, los lados que comprenden los ángulos iguales son proporcionales y los lados que subtienden los ángulos iguales son correspondientes.

Pónganse, pues, en línea recta BC, CE. Y dado que los ángulos ABC, ACB son menores que dos rectos [Prop. I.17], y el ángulo ACB es igual al ángulo DEC, entonces los ángulos ABC, AEC son menores que dos rectos; por tanto BA, ED, prolongadas, se encontrarán [Post. I.5]. Prolónguense y encuéntrense en F Paso 3. Y puesto que el ángulo DCE es igual al ángulo ABC, BF es paralela a CD [Prop. I.28]. Puesto que, a su vez, el ángulo ACB es igual al ángulo DEC, AC es paralela a FE [Prop. I.28]. Por tanto FACD es un paralelogramo; luego FA es igual a DC y AC a FD [Prop. I.34]. Ahora bien, dado que AC ha sido trazada paralela a uno de los lados, FE, del triángulo FBE, entonces, como BA es a AF, así BC a CE [Prop. VI.2]. Pero AF es igual a CD; por tanto, como BA es a CD, así BC a CE, y, por alternancia, como AB es a BC, así DC a CE [Prop. V.16]. Asimismo, puesto que CD es paralela a BF, entonces, como BC es a CE, así FD a DE [Prop. VI.2], Pero FD es igual a AC; por tanto, como BC es a CE, así AC a DE, y, por alternancia, como BC es a CA, así CE a ED [Prop. V.16]. Así pues, ya que se ha demostrado que, como AB es a BC, así DC a CE, y como BC es a CA, así CE a ED, entonces, por igualdad, como BA es a AC, así CD es a DE [Prop. V.22].

Por consiguiente, en los triángulos equiángulos los lados que comprenden los ángulos iguales son proporcionales y los lados que subtienden los ángulos iguales son correspondientes.

Q. E. D.