Todo cono es la tercera parte del cilindro que tiene la misma base e igual altura.

Tenga, pues, un cono la misma base que un cilindro, el círculo ABCD, e igual altura. Digo que el cono es la tercera parte del cilindro, es decir que el cilindro es el triple del cono.

Pues, si el cilindro no es el triple del cono, el cilindro será o mayor que el triple del cono o menor que el triple del cono. Sea, en primer lugar, mayor que el triple e inscríbase en el círculo ABCD el cuadrado ABCD [Prop. IV.6]. Entonces, el cuadrado ABCD es mayor que la mitad del círculo ABCD. Levántese a partir del cuadrado ABCD un prisma de altura igual a la del cilindro. Entonces el prisma levantado es mayor que la mitad del cilindro: puesto que, si circunscribimos un cuadrado en torno al círculo ABCD [Prop. IV.7], el cuadrado inscrito en el círculo ABCD es la mitad del circunscrito; y los sólidos levantados a partir de ellos son prismas paralelepípedos de la misma altura, y los sólidos paralelepípedos que tienen la misma altura son entre sí como sus bases [Prop. XI.32]; entonces, el prisma levantado a partir del cuadrado ABCD es la mitad del prisma levantado a partir del cuadrado circunscrito en torno al círculo ABCD [Prop. XI.28, Prop. XII.6 y Cor. Prop. XII.7], y el cilindro es menor que el prisma levantado a partir del cuadrado circunscrito en torno al círculo ABCD; luego el prisma levantado a partir del cuadrado ABCD y de la misma altura que el cilindro es mayor que la mitad del cilindro. Divídanse en dos partes iguales las circunferencias AB, BC, CD, DA por los puntos E, F, G, H, y trácense AE, EB, BF, FC, CE, GD, DH, HA; entonces cada uno de los triángulos AEB, BFC, CGD, DHA es mayor que la mitad del segmento del círculo ABCD en el que está, como demostrábamos anteriormente [Prop. XII.2]. Levántense prismas de la misma altura que el cilindro sobre cada uno de los triángulos AEB, BFC, CGD, DHA; entonces cada uno de los prismas levantados es mayor que la mitad del segmento de cilindro en el que está; puesto que, si trazamos paralelas a AB, BC, CD, DA por los puntos EFGH y completamos los paralelogramos sobre las rectas AB, BC, CD, DA y levantamos, a partir de ellos, sólidos paralelepípedos de igual altura que el cilindro, los prismas sobre los triángulos AEB, BFC, CGD, DHA son la mitad de cada uno de los levantados; y los segmentos del cilindro son menores que los sólidos paralelepípedos levantados; de modo que también los prismas levantados sobre los triángulos AEB, BFC, CGD, DHA son mayores que la mitad de los de los segmentos de cilindro en que están. Ahora, si dividimos en dos partes iguales las circunferencias que han quedado y trazamos rectas uniendo los puntos de división y levantamos prismas de la misma altura que el cilindro sobre cada uno de los triángulos y procedemos así sucesivamente, dejaremos ciertos segmentos de cilindro que serán menores que el exceso con el que el cilindro excede al triple del cono [Prop. X.1]. Déjense y sean AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH, HA; entonces el prisma restante cuya base es el polígono AEBFCGDH y su altura la misma que la del cilindro es mayor que el triple del cono. Pero el prisma cuya base es el polígono AEBFCGDH y su altura la misma que la del cilindro es el triple de la pirámide cuya base es el polígono AEBFCGDH y su vértice el mismo que el del cono [Cor. Prop. XII.7]; luego la pirámide cuya base es el polígono AEBFCGDH y su vértice el mismo que el del cono es mayor que el cono que tiene como base el círculo ABCD. Pero también es menor, porque está comprendida por él; lo cual es imposible. Por tanto el cilindro no es mayor que el triple del cono. Digo ahora que el cilindro tampoco es menor que el triple del cono.

Pues, si fuera posible, sea el cilindro menor que el triple del cono; entonces, por inversión, el cono es mayor que la tercera parte del cilindro. Inscríbase el cuadrado ABCD en el círculo ABCD; entonces el cuadrado ABCD es mayor que la mitad del círculo ABCD. Y levántese sobre el cuadrado ABCD una pirámide que tenga el mismo vértice que el cono; entonces la pirámide levantada es mayor que la mitad del cono; porque, como antes demostrábamos, si circunscribimos un cuadrado en torno al círculo, el cuadrado ABCD será la mitad del cuadrado circunscrito en torno al círculo; y si levantamos a partir de los cuadrados sólidos paralelepípedos de la misma altura que el cono que también se llaman prismas, el sólido levantado a partir del cuadrado ABCD será la mitad del levantado a partir del cuadrado circunscrito en torno al círculo, porque son entre sí como sus bases [Prop. XI.32]; de modo que también los tercios están en la misma razón; así pues, la pirámide cuya base es el cuadrado ABCD es la mitad de la pirámide levantada a partir del cuadrado circunscrito en torno al círculo. Y la pirámide levantada sobre el cuadrado circunscrito en torno al círculo es mayor que el cono, pues lo comprende; luego la pirámide cuya base es el cuadrado ABCD y su vértice el mismo que el del cono es mayor que la mitad del cono. Divídanse en dos partes iguales las circunferencias AB, BC, CD, DA por los puntos E, F, G, H y trácense AE, EB, BF, CG, GD, DH, HA; entonces, cada uno de los triángulos AEB, BFC, CGD, DHA es mayor que la mitad del segmento del círculo ABCD en el que está. Ahora bien, levántese sobre cada uno de los triángulos AEB, BFC, CGD, DHA pirámides que tengan el mismo vértice que el cono; entonces cada una de las pirámides levantadas de la misma manera es mayor que la mitad del segmento de cono en el que está. Ahora, si dividimos en dos partes iguales las circunferencias que quedan y trazamos rectas uniendo los puntos de división y levantamos sobre cada uno de los triángulos pirámides que tengan el mismo vértice que el cono y procedemos así sucesivamente, dejaremos ciertos segmentos de cono que serán menores que el exceso con que el cono excede a la tercera parte del cilindro [Prop. X.1]. Déjense y sean los de AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH, HA; entonces la pirámide restante cuya base es el polígono AEBFCGDH y su vértice el mismo que el del cono, es mayor que la tercera parte del cilindro. Pero la pirámide cuya base es el polígono AEBFCGDH y su vértice el mismo que el del cono es la tercera parte del prisma cuya base es el polígono AEBFCGDH y su altura la misma que la del cilindro; entonces el prisma cuya base es el polígono AEBFCGDH y su altura la misma que la del cilindro es mayor que el cilindro cuya base es el círculo ABCD. Pero también es menor, porque está comprendido por él; lo cual es imposible. Luego el cilindro no es menor que el triple del cono. Pero se ha demostrado que tampoco es mayor que el triple. Por tanto, el cilindro es el triple del cono; de modo que el cono es la tercera parte del cilindro.

Por consiguiente, todo cono es la tercera parte del cilindro que tiene la misma base que él e igual altura.

Q. E. D.