Las esferas guardan entre sí una razón triplicada de la de sus respectivos diámetros.
Consideremos las esferas ABC, DEF y sus diámetros BC, EF . Digo que la esfera ABC guarda con la esfera DEF una razón triplicada de la que BC guarda con EF.
Pues, si la esfera ABC no guarda con la esfera DEF una razón triplicada de la que BC guarda con EF, entonces, la esfera ABC guardará una razón triplicada de la que BC guarda con EF con una esfera menor que DEF o con una mayor. Guárdela en primer lugar con la esfera menor GHK , y considérese DEF en torno al mismo centro que GHK, e inscríbase en la esfera mayor el sólido poliedro DEF que no toque la esfera menor GHK en su superficie [Prop. XII.17], e inscríbase también en la esfera ABC un sólido poliedro semejante al sólido poliedro inscrito en la esfera DEF; entonces el sólido poliedro inscrito en ABC guarda con el sólido poliedro inscrito en DEF una razón triplicada de la que BC guarda con EF [Cor. Prop. XII.17]. Pero la esfera ABC guarda con la esfera GHK una razón triplicada de la que BC guarda con EF; luego, como la esfera ABC es a la esfera GHK, así el sólido poliedro inscrito en la esfera ABC al sólido poliedro inscrito en la esfera DEF; y, por alternancia, como la esfera ABC es al sólido poliedro inscrito en ella, así la esfera GHK al sólido poliedro inscrito en la esfera DEF [Prop. V.16]. Pero la esfera ABC es mayor que el poliedro inscrito en ella; luego la esfera GHK es también mayor que el sólido poliedro inscrito en la esfera DEF. Pero también menor —porque es comprendida por él— por tanto, la esfera ABC no guarda con una esfera menor que DEF una razón triplicada de la que el diámetro BC guarda con el diámetro EF. De manera semejante demostraríamos que la esfera DEF tampoco guarda con una esfera menor que ABC una razón triplicada de la que EF guarda con BC. Digo ahora que la esfera ABC tampoco guarda con una esfera mayor que DEF una razón triplicada de la que BC guarda con EF.
Pues, si fuera posible, guárdela con la mayor LMN ; entonces, por inversión, la esfera LMN guarda con la esfera ABC una razón triplicada de la que el diámetro EF guarda con el diámetro BC. Pero, como la esfera LMN es a la esfera ABC, así la esfera DEF a una esfera menor que ABC; porque LMN es mayor que DEF, según se ha demostrado antes [Lema Prop. XII.2]. Entonces la esfera DEF guarda con una esfera menor que la esfera ABC una razón triplicada de la que EF guarda con BC; lo cual se ha demostrado que es imposible. Por tanto, la esfera ABC no guarda con una esfera mayor que DEF una razón triplicada de la que BC guarda con EF. Pero se ha demostrado que tampoco con una menor.
Por consiguiente, la esfera ABC guarda con la esfera DEF una razón triplicada de la que BC guarda con EF.
Q. E. D.