Las pirámides que tienen la misma altura y tienen triángulos como bases son entre sí como sus bases.
Sean de la misma altura las pirámides cuyas bases son los triángulos ABC, DEF y sus vértices los puntos G, H . Digo que, como la base ABC es a la base DEF, así la pirámide ABCG a la pirámide DEFC.
Pues, si la base ABC no es a la base DEF como la pirámide ABCG es a la pirámide DEFH, entonces, como la base ABC es a la base DEF, así será la pirámide ABCG o bien a un sólido menor que la pirámide DEFG o bien a uno mayor. Séalo, en primer lugar, a uno menor, X , y divídase la pirámide DEFH en dos pirámides iguales entre sí y semejantes a la pirámide entera y en dos prismas iguales; entonces los dos prismas son mayores que la mitad de la pirámide entera [Prop. XII.3] . Y divídanse, a su vez, de manera semejante las pirámides resultantes de la división y así sucesivamente hasta que, a partir de la pirámide DEFH, queden ciertas pirámides que sean menores que el exceso con que la pirámide DEFH excede al sólido X [Prop. X.1]. Divídase también la pirámide ABCG de manera semejante y el mismo número de veces que la pirámide DEFH. Entonces, como la base ABC es a la base DEF, así los prismas de la pirámide ABCG a los prismas de la pirámide DEFH [Prop. XII.4]. Pero también, como la base ABC es a la base DEF, así la pirámide ABCG al sólido X; luego como la pirámide ABCG es al sólido X, así los prismas de la pirámide ABCG a los prismas de la pirámide DEFH [Prop. V.11]; así pues, por alternancia, como la pirámide ABCG es a sus prismas, así el sólido X es a los prismas de la pirámide DEFH [Prop. V.16]. Pero la pirámide ABCG es mayor que sus prismas; entonces el sólido X es mayor que los prismas de la pirámide DEFH. Pero también es menor; lo cual es imposible. Por tanto, la pirámide ABCG no es a un sólido menor que la pirámide DEFH como la base ABC es a la base DEF. De manera semejante se demostraría que la pirámide DEFH tampoco es a un sólido menor que la pirámide ABCG como la base DEF es a la base ABC. Digo además que la pirámide ABCG tampoco es a un sólido mayor que la pirámide DEFH como la base ABC es a la base DEF. Pues, si fuera posible, séalo al sólido mayor X; entonces, por inversión, como la base DEF es a la base ABC, así el sólido X a la pirámide ABCG. Pero como el sólido X es a la pirámide ABCG, así la pirámide DEFH a un sólido menor que la pirámide ABCG, como se ha demostrado anteriormente [Lema Prop. XII.2]. Entonces, como la base DEF es a la base ABC, así la pirámide DEFH a un sólido menor que la pirámide ABCG [Prop. V.11]; lo cual se ha demostrado que es absurdo; por tanto, la pirámide ABCG no es a un sólido mayor que la pirámide DEFH como la base ABC es a la base DEF. Pero se ha demostrado que tampoco es a uno menor. Por consiguiente, como la base ABC es a la base DEF, así la pirámide ABCG a la pirámide DEFH.
Q. E. D.