Los círculos son uno a otro como los cuadrados de sus diámetros.

Sean ABCD Paso 1, EFGH Paso 2 los círculos y BD Paso 3, FH Paso 4 sus diámetros. Digo que, como el círculo ABCD es al círculo EFGH, así el cuadrado de BD al cuadrado de FH.

Pues si el círculo ABCD no fuera al círculo EFGH como el cuadrado de BD es al cuadrado de FH, entonces, como el cuadrado de BD es al cuadrado de FH, así será el círculo ABCD a un área menor que el círculo EFGH o a una mayor. Séalo en primer lugar a un área menor S Paso 5; inscríbase el cuadrado EFGH Paso 6en el círculo EFGH; entonces el cuadrado inscrito es mayor que la mitad del círculo EFGH; porque si trazamos tangentes al círculo por los puntos E, F, G, H, el cuadrado EFGH es la mitad del cuadrado circunscrito en torno al círculo y el círculo es menor que el cuadrado circunscrito; de modo que el cuadrado inscrito EFGH es mayor que la mitad del círculo EFGH. divídanse en dos partes iguales las circunferencias EF, FG, GH, HE por los puntos K, L, M, N Paso 7, y trácense EK, KF, FL, LG, GM, MH, HN, NE Paso 8; entonces cada uno de los triángulos EKF, FLG, GMH, HNE es mayor que la mitad del segmento de círculo en que se halla: porque si trazamos tangentes al círculo por los puntos K, L, M, N, y completamos los paralelogramos sobre las rectas EF, FG, GH, HE, cada uno de los triángulos EKF, FLG, GMH, HNE será la mitad del paralelogramo en que se halla; pero el segmento en que se halla es menor que el paralelogramo, de modo que cada uno de los triángulos EKF, FLG, GMH, HNE es mayor que la mitad del segmento de círculo en que se halla. Entonces, si dividimos en dos las restantes circunferencias y trazamos rectas y procedemos así sucesivamente, dejaremos ciertos segmentos de círculo que serán menores que el exceso con que el círculo EFGH excede al área S: pues se ha demostrado en [Prop. X.1] que, si se ponen dos magnitudes desiguales y se quita de la mayor una magnitud mayor que su mitad y, de la que queda, se quita una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada. Quede, pues como se ha dicho, y sean EK, KF, FL, LG, GM, MH, HN, NE los segmentos del círculo EFGH menores que el exceso con que el círculo EFGH excede al área S. Entonces el polígono restante EKFLGMHN es mayor que el área S. E inscríbase en el círculo ABCL el polígono AQBOCPDR Paso 9 semejante al polígono EKFLGMHN; entonces, como el cuadrado de BD es al cuadrado de FH, así el polígono AQBOCPDR es al polígono EKFLGMHN [Prop. XII.1]. Pero también, como el cuadrado de BD es al cuadrado de FH, así el círculo ABCD es al área S; entonces, como el círculo ABCD es al área S, así el polígono AQBOCPDR es al polígono EKFLGMHN [Prop. V.11]; luego, por alternancia, como el círculo ABCD es al polígono inscrito en él, así el área S al polígono EKFLGMHN [Prop. V.16]. Pero el círculo ABCD es mayor que el polígono inscrito en él; entonces S también es mayor que el polígono EKFLGMHN. Pero también es menor; lo cual es imposible. Luego el círculo ABCD no es a un área menor que el círculo EFGH como el cuadrado de BD es al cuadrado de FH. De manera semejante demostraríamos que el círculo EFGH tampoco es a un área menor que el círculo ABCD como el cuadrado de FH es al cuadrado de BD. Digo ahora que el cuadrado de BD tampoco es al cuadrado de FH como el círculo ABCD a un área mayor que el círculo EFGH. Pues, si fuera posible, séalo a un área mayor S. Entonces, por inversión, como el cuadrado de FH es al cuadrado DB, así el área S al círculo ABCD. Ahora bien, como el área S es al círculo ABCD, así el círculo EFGH a un área menor que el círculo ABCD; entonces, como el cuadrado de FH es al cuadrado de BD, así el círculo EFGH a un área menor que el círculo ABCD [Prop. V.11]; lo cual se ha demostrado que es imposible. Por tanto, el círculo ABCD no es a un área mayor que el círculo EFGH como el cuadrado de BD es al cuadrado de FH. Pero se ha demostrado que tampoco a un área menor; por tanto, como el cuadrado de BD es al cuadrado de FH, así el círculo ABCD al círculo EFGH.

Por consiguiente, los círculos son uno a otro como los cuadrados de sus diámetros.

Q. E. D.

Digo ahora que, si el área S es mayor que el círculo EFGH, como el área S es al círculo ABCD, así el círculo EFGH a un área menor que el círculo ABCD. Pues, como el área S es al círculo ABCD, sea así el círculo EFGH al área T Paso 10. Digo que el área T es menor que el círculo ABCD. Porque, efectivamente, como el área S es al círculo ABCD, así el círculo EFGH al área T, luego, por alternancia, como el área S es al círculo EFGH, así el círculo ABCD al área T [Prop. V.16]. Y el área S es mayor que el círculo EFGH; por tanto, el círculo ABCD también es mayor que el área T. De modo que, como el área S es al círculo ABCD, así el círculo EFGH a un área menor que el círculo ABCD.

Q. E. D.