Todo prisma que tiene como base un triángulo se divide en tres prismas iguales entre sí que tienen triángulos como bases.
Sea un prisma cuya base es el triángulo ABC y su triángulo opuesto DEF . Digo que el prisma ABCDEF se divide en tres pirámides iguales entre sí que tienen triángulos como bases.
Trácense, pues, las rectas BD, EC, CD . Como ABED es un paralelogramo y su diámetro es BD, entonces el triángulo ABD es igual al triángulo EBD [Prop. I.34]. Luego la pirámide cuya base es el triángulo ABD y su vértice C es igual a la pirámide cuya base es el triángulo DEB y su vértice el punto C [Prop. XII.5]. Pero la pirámide cuya base es el triángulo DEB y su vértice el punto C es la misma que la pirámide cuya base es el triángulo EBC y su vértice el punto C: porque están comprendidas por los mismos planos. Entonces, la pirámide cuya base es el triángulo ABD y su vértice el punto C es igual a la pirámide cuya base es el triángulo EBC y su vértice el punto D. Puesto que, a su vez, FCBE es un paralelogramo y su diámetro es CE, el triángulo CEF es igual al triángulo CBE [Prop. I.34]. Entonces la pirámide cuya base es el triángulo BCE y su vértice el punto D es igual a la pirámide cuya base es el triángulo ECF y su vértice el punto D [Prop. XII.5]. Pero se ha demostrado que la pirámide cuya base es el triángulo BCE y su vértice el punto D es igual a la pirámide cuya base es el triángulo ABD y su vértice el punto C; entonces la pirámide cuya base es el triángulo CEF y su vértice el punto D es igual a la pirámide cuya base es el triángulo ABD y su vértice el punto C; por tanto, el prisma ABCDEF se ha dividido en tres pirámides iguales entre sí que tienen triángulos como bases. Y como la pirámide cuya base es el triángulo ABD y su vértice el punto C es la misma que la pirámide cuya base es el triángulo CAB y su vértice el punto D: porque están comprendidas por los mismos planos, mientras que la pirámide cuya base es el triángulo ABD y su vértice el punto C se ha demostrado que es el tercio del prisma cuya base es el triángulo ABC y su triángulo opuesto DEF, entonces la pirámide cuya base es el triángulo ABC y su vértice el punto D es el tercio del prisma que tiene la misma base, a saber: el triángulo ABC, y como triángulo opuesto DEF.
Q. E. D.
A partir de esto que da claro que toda pirámide es la tercera parte del prisma que tiene la misma base que ella e igual altura.